A C. 1189. feladat (2013. november)

C. 1189. Adjuk meg az összes olyan n egész számot, amelyre az  értéke is egész szám.

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle \frac{n^2+2n-8}{n^2+n-12}=\frac{n^2+n-12+n+4}{n^2+n-12}=1+\frac{n+4}{n^2+n-12}\). Vegyük észre, hogy \(\displaystyle n^2+n-12=(n+4)(n-3)\), így a kifejezés tovább alakítható: \(\displaystyle 1+\frac{n+4}{n^2+n-12}=1+\frac{n+4}{(n+4)(n-3)}=1+\frac{1}{n-3}\), ahol \(\displaystyle n\neq3\) és \(\displaystyle n\neq-4\). Ez pontosan akkor egész szám, ha \(\displaystyle n-3=-1\) vagy \(\displaystyle n-3=1\). Ekkor \(\displaystyle n=2\) vagy \(\displaystyle n=4\).

Megjegyzés: Ha valaki a számlálót rögtön átalakítja: \(\displaystyle n^2+2n-8=(n+4)(n-2)\), akkor a törtet így írhatja fel: \(\displaystyle \frac{n^2+2n-8}{n^2+n-12}=\frac{(n+4)(n-2)}{(n+4)(n-3)}=\frac{n-2}{n-3}=1+\frac{1}{n-3}\).

Statisztika:

196 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	82 versenyző.
4 pontot kapott:	69 versenyző.
3 pontot kapott:	26 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2013. novemberi matematika feladatai