A C. 1190. feladat (2013. november)

C. 1190. Bizonyítsuk be, hogy ha egy trapéz húrnégyszög és érintőnégyszög is egyben, valamint átlói merőlegesek egymásra, akkor csak négyzet lehet.

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. december 10-én LEJÁRT.

I. megoldás. Ha egy trapéz húrnégyszög, vagyis húrtrapéz, akkor a szárai egyenlő hosszúak. Ha érintőnégyszög, akkor szemközti oldalainak összege egyenlő.

Mivel a húrtrapéz átlói két hasonló háromszöget határoznak meg, valamint szimmetrikus az alapok felezőmerőlegesére, ezért beírhatók az ábrába a szakaszok fenti hosszai. Írjunk fel egy-egy Pitagorasz tételt az $\displaystyle a$, illetve a $\displaystyle b$ átfogójú derékszögű háromszögekre: $\displaystyle x^2+x^2=a^2$, $\displaystyle x^2+(dx)^2=b^2$. Ezekből $\displaystyle a=\sqrt2x$, $\displaystyle b=\sqrt{x^2+d^2x^2}$ és $\displaystyle da=d\sqrt 2x$.

Az érintőnégyszög szemközti oldalainak összege egyenlő:

$\displaystyle \sqrt2x+d\sqrt2x=2\sqrt{x^2+d^2x^2}.$

Ezt négyzetre emelve és rendezve:

$\displaystyle 2x^2+2d^2x^2+4dx^2=4x^2+4d^2x^2,$

$\displaystyle 0=2x^2+2d^2x^2-4dx^2=2x^2(1+d^2-2d)=2x^2(d-1)^2.$

Mivel $\displaystyle x>0$, ezért ez csak $\displaystyle d=1$ esetén lehetséges.

Ha pedig egy négyszög átlói merőlegesek, egyenlő hosszúak és felezik egymást, akkor a négyszög négyzet.

II. megoldás.

A húrnégyszög szárai egyenlő hosszúak, jelölje mindkettőt $\displaystyle b$. Az érintőnégyszög szemközti oldalainak összeg egyenlő: $\displaystyle a+c=2b$, amiből $\displaystyle b=\frac{a+c}{2}$.

A húrnégyszög tengelyesen szimmetrikus, a szimmetriatengelye $\displaystyle EF$, ahol $\displaystyle E$ az $\displaystyle AB$, $\displaystyle F$ pedig a $\displaystyle CD$ oldal felezőpontja. A szimmetria miatt az átlók $\displaystyle M$ metszéspontja rajta van $\displaystyle EF$-en. Mivel az átlók merőlegesek egymásra, így $\displaystyle BMA\angle=DMC\angle=90^{\circ}$. A Thalész tétel megfordítása szerint ekkor $\displaystyle ME=\frac{AB}{2}=\frac a2$ és $\displaystyle MF=\frac{CD}{2}=\frac c2$, így $\displaystyle EF=ME+MF=\frac a2+\frac c2=b$.

Tehát a trapéz magassága ugyanolyan hosszú, mint a szára, így a trapéz téglalap, vagyis $\displaystyle a=c$ is teljesül. Így $\displaystyle b=\frac{a+a}{2}=a$, vagyis $\displaystyle ABCD$ négyzet.

Statisztika:

130 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	59 versenyző.
4 pontot kapott:	9 versenyző.
3 pontot kapott:	16 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	14 versenyző.
Nem versenyszerű:	12 dolgozat.

A KöMaL 2013. novemberi matematika feladatai