A C. 1191. feladat (2013. november)

C. 1191. Egy szállítmányban lévő csomagok tömege a következő: n darab 1 kg-os, n-1 darab 2 kg-os, n-2 darab 3 kg-os stb., végül 1 darab n kg-os. Mekkora a szállítmányban egy csomag átlagos tömege n függvényében?

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Egy csomag átlagos tömege: \(\displaystyle m=S/d\), ahol \(\displaystyle S\) a csomagok tömegének összege, \(\displaystyle d\) pedig a csomagok száma.

A csomagok száma: \(\displaystyle d=n+(n-1)+(n-2)+...+2+1=\frac{(n+1)n}{2}\).

A csomagok tömegének összege:

\(\displaystyle S=n\cdot1+(n-1)\cdot2+(n-2)\cdot3+...+(n+1-i)\cdot i+...+1\cdot n=\)

\(\displaystyle =((n+1)-1)\cdot1+((n+1)-2)\cdot2+((n+1)-3)\cdot3+...+((n+1)-i)\cdot i+...+((n+1)-n)\cdot n=\)

\(\displaystyle =((n+1)\cdot1-1\cdot1)+((n+1)\cdot2-2\cdot2)+((n+1)\cdot3-3\cdot3)+...+((n+1)\cdot i-i\cdot i)+ +...+((n+1)\cdot n-n\cdot n)=\)

\(\displaystyle =(n+1)(1+2+3+...+i+...+n)-(1^2+2^2+3^2+...+i^2+...n^2)=\)

\(\displaystyle =(n+1)\cdot\frac{(n+1)n}{2}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{(n+1)n}{2}\cdot\left((n+1)-\frac{2n+1}{3}\right)=\)

\(\displaystyle =\frac{(n+1)n}{2}\cdot\frac{3n+3-2n-1}{3}=\frac{(n+1)n}{2}\cdot\frac{n+2}{3}.\)

Tehát egy csomag átlagos tömege:

\(\displaystyle m=\frac Sd=\frac{\frac{(n+1)n}{2}\cdot\frac{n+2}{3}}{\frac{(n+1)n}{2}}=\frac{n+2}{3}.\)

Statisztika:

170 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	104 versenyző.
4 pontot kapott:	8 versenyző.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	13 versenyző.
1 pontot kapott:	20 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.
Nem versenyszerű:	7 dolgozat.

A KöMaL 2013. novemberi matematika feladatai