A C. 1191. feladat (2013. november)

C. 1191. Egy szállítmányban lévő csomagok tömege a következő: n darab 1 kg-os, n-1 darab 2 kg-os, n-2 darab 3 kg-os stb., végül 1 darab n kg-os. Mekkora a szállítmányban egy csomag átlagos tömege n függvényében?

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Egy csomag átlagos tömege: $\displaystyle m=S/d$, ahol $\displaystyle S$ a csomagok tömegének összege, $\displaystyle d$ pedig a csomagok száma.

A csomagok száma: $\displaystyle d=n+(n-1)+(n-2)+...+2+1=\frac{(n+1)n}{2}$.

A csomagok tömegének összege:

$\displaystyle S=n\cdot1+(n-1)\cdot2+(n-2)\cdot3+...+(n+1-i)\cdot i+...+1\cdot n=$

$\displaystyle =((n+1)-1)\cdot1+((n+1)-2)\cdot2+((n+1)-3)\cdot3+...+((n+1)-i)\cdot i+...+((n+1)-n)\cdot n=$

$\displaystyle =((n+1)\cdot1-1\cdot1)+((n+1)\cdot2-2\cdot2)+((n+1)\cdot3-3\cdot3)+...+((n+1)\cdot i-i\cdot i)+ +...+((n+1)\cdot n-n\cdot n)=$

$\displaystyle =(n+1)(1+2+3+...+i+...+n)-(1^2+2^2+3^2+...+i^2+...n^2)=$

$\displaystyle =(n+1)\cdot\frac{(n+1)n}{2}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{(n+1)n}{2}\cdot\left((n+1)-\frac{2n+1}{3}\right)=$

$\displaystyle =\frac{(n+1)n}{2}\cdot\frac{3n+3-2n-1}{3}=\frac{(n+1)n}{2}\cdot\frac{n+2}{3}.$

Tehát egy csomag átlagos tömege:

$\displaystyle m=\frac Sd=\frac{\frac{(n+1)n}{2}\cdot\frac{n+2}{3}}{\frac{(n+1)n}{2}}=\frac{n+2}{3}.$

Statisztika:

170 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	104 versenyző.
4 pontot kapott:	8 versenyző.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	13 versenyző.
1 pontot kapott:	20 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.
Nem versenyszerű:	7 dolgozat.

A KöMaL 2013. novemberi matematika feladatai