A C. 1192. feladat (2013. november)

C. 1192. Az egyenletnek az x=1 gyöke, erről behelyettesítéssel meggyőződhetünk. Oldjuk meg az egyenletet.

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Nézzük az $\displaystyle \sqrt{5x^4+4x^2+3x+2\sqrt x+2}=4$ hozzárendelésű $\displaystyle f(x)$ függvényt. A függvény legbővebb értelmezési tartománya a nem negatív valós számok halmaza. A függvény grafikonjáról alig tudunk valamit, de a hozzárendelési szabályában szereplő műveletek miatt megállapíthatjuk, hogy az $\displaystyle f(x)$ függvény szigorúan monoton növekedő az értelmezési tartományán.

Tudjuk, hogy $\displaystyle f(1)=4$. A függvény szigorú monoton növekedése miatt $\displaystyle 0\leq x<1$ esetén $\displaystyle f(x)<4$, $\displaystyle 1<x$ esetén pedig $\displaystyle f(x)>4$ lesz.

Vagyis az egyenlet egyedüli megoldása az $\displaystyle x=1$.

Statisztika:

167 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	127 versenyző.
4 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	11 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2013. novemberi matematika feladatai