A C. 1193. feladat (2013. november)

C. 1193. Egy egységoldalú négyzet minden oldalára kifelé rajzolunk egy-egy 120^o-os szárszögű egyenlőszárú háromszöget, és így egy egyenlő oldalú nyolcszöget kapunk. Tekintsük továbbá azt a szabályos nyolcszöget, aminek minden második csúcsát összekötve egy egységnyi oldalú négyzetet kapunk. Hányszorosa lesz az egyenlőoldalú nyolcszög területe a szabályos nyolcszög területének?

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Egy $\displaystyle 120^{\circ}$-os szárszögű egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögei $\displaystyle 30^{\circ}$-osak. Így az egyenlő oldalú nyolcszög oldalainak hossza pl. az $\displaystyle ACF$ derékszögű háromszögből számolható: $\displaystyle \cos30^{\circ}=AF/AC$, vagyis $\displaystyle \sqrt3/2=(1/2)/AC$, amiből $\displaystyle AC=1/\sqrt3$.

A nyolcszög területe az 1 oldalú négyzet és négy, az $\displaystyle ABC$ háromszöggel egybevágó háromszög területének összegeként áll elő:

$\displaystyle T_1=1+4\cdot1/2\cdot(1/\sqrt3)^2\cdot\sin120^{\circ}= 1+4\cdot1/2\cdot(1/3)\cdot(\sqrt3/2)=1+\sqrt3/3.$

A szabályos nyolcszög köré írt kör sugara az egységoldalú négyzet átlójának fele, vagyis $\displaystyle \sqrt2/2$. A nyolcszög területe megkapható nyolc egyenlő szárú háromszög területének összegeként:

$\displaystyle T_2=8\cdot1/2\cdot(\sqrt2/2)^2\cdot\sin45^{\circ}=$

$\displaystyle =8\cdot1/2\cdot2/4\cdot\sqrt2/2=\sqrt2.$

A keresett arány:

$\displaystyle \frac{T_1}{T_2}=\frac{1+\frac{\sqrt3}{3}}{\sqrt2}=\frac{3\sqrt2+\sqrt6}{6}\approx1,12.$

Statisztika:

200 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	110 versenyző.
4 pontot kapott:	46 versenyző.
3 pontot kapott:	24 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2013. novemberi matematika feladatai