A C. 1194. feladat (2013. november)

C. 1194. Három szám összege 6,5; a legnagyobb és a legkisebb szám különbsége 4. Mekkora a három szám szorzatának maximuma?

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a három szám \(\displaystyle a\leq b\leq c\). Tudjuk, hogy \(\displaystyle c-a=4\), innen \(\displaystyle c=a+4\). Másrészt \(\displaystyle a+b+c=6,5\), vagyis \(\displaystyle a+b+a+4=6,5\), amiből \(\displaystyle b=2,5-2a\).

A három szám szorzata: \(\displaystyle abc=a(2,5-2a)(a+4)=-2a^3-5,5a^2+10a\). Vizsgáljuk ezt a kifejezést függvényként, melyet jelöljön \(\displaystyle f(a)\). A függvény zérushelyei \(\displaystyle a_1=0\), \(\displaystyle a_2=1,25\) és \(\displaystyle a_3=-4\).

A függvény deriváltja. \(\displaystyle f'(a)=-6a^2-11a+10\). Ennek zérushelyei \(\displaystyle a_4=-\frac52\) és \(\displaystyle a_5=\frac23\). A derivált \(\displaystyle a<-5/2\) és \(\displaystyle 2/3<a\) esetén negatív, tehát itt a függvény csökkenő; \(\displaystyle -5/2<a<2/3\) esetén pozitív, itt a függvény nő. A függvénynek helyi maximuma van \(\displaystyle a=2/3\) esetén, ez egyben \(\displaystyle a>0\) esetén is a függvény maximuma. Ekkor \(\displaystyle b=7/6\) és \(\displaystyle c=14/3\), szorzatuk pedig 98/27.

Azt kell csak megvizsgálni, hogy \(\displaystyle a<0\) esetén mi a helyzet. \(\displaystyle -4\) és 0 között a függvény értéke negatív, így ezt nem kell tovább vizsgálni. Ha pedig \(\displaystyle a<-4\), akkor \(\displaystyle c=a+4<0\), de ekkor \(\displaystyle b\) is negatív, így a három szám szorzata is az lenne.

Tehát a három szám szorzatának maximuma 98/27.

Statisztika:

67 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bereczki Zoltán, Farkas Dóra, Hegyi Zoltán, Kovács 628 Márton, Kovács 972 Márton, Porupsánszki István, Sziegl Benedek, Szinyéri Máté, Zsiros Ádám.
4 pontot kapott:	Bálint Karola, Chourfi Abdel Karim, Daku Gábor, Denke Dorottya, Fényes Balázs, Hári Krisztina, Hegel Patrik, Horváth Bendegúz, Jeges Viktor, Kácsor Szabolcs, Krisztián Jonatán, Móricz Tamás, Paulovics Zoltán, Rápolti Kitti, Szabó Tamás Béla, Szűcs Dorina, Temesvári Fanni, Tóth Zsófia.
3 pontot kapott:	13 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2013. novemberi matematika feladatai