A C. 1195. feladat (2013. november)

C. 1195. Az ABCDEFGH téglatest AF, FC és CA lapátlóinak hossza legyen rendre a, b és c, továbbá a lapátlók és a BH testátló által bezárt szög rendre , és . Bizonyítsuk be, hogy a^.cos -b^.cos +c^.cos =0, ha az AB él hossza a BC és BF hossza közé esik.

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Rajzoljuk fel az alábbi vektorokat: $\displaystyle \overrightarrow{BH}=\underline{t}$, $\displaystyle \overrightarrow{AF}=\underline{a}$, $\displaystyle \overrightarrow{FC}=\underline{b}$ és $\displaystyle \overrightarrow{CA}=\underline{c}$. Mivel $\displaystyle \underline{a}+\underline{b}+\underline{c}=\underline{0}$, azért a három vektor összegének a $\displaystyle \underline{t}$-vel vett skaláris szorzata 0: $\displaystyle (\underline{a}+\underline{b}+\underline{c})\underline{t}=0$.

A lapátlók megfelelő vektorai és $\displaystyle \underline{t}$ által bezárt szögeket jelölje rendre $\displaystyle \alpha'$, $\displaystyle \beta'$ és $\displaystyle \gamma'$. A skaláris szorzat az összeadásra nézve disztributív, így igaz, hogy $\displaystyle \underline{a}\cdot\underline{t}+\underline{b}\cdot\underline{t}+\underline{c}\cdot\underline{t}=0$. Vagyis $\displaystyle |\underline{a}|\cdot|\underline{t}|\cos\alpha'+|\underline{b}|\cdot|\underline{t}|\cos\beta'+|\underline{c}|\cdot|\underline{t}|\cos\gamma'=0$. Kihasználva, hogy szakaszokról van szó, és így $\displaystyle |\underline{a}|=a$, $\displaystyle |\underline{b}|=b$, $\displaystyle |\underline{c}|=c$, valamint, hogy $\displaystyle |\underline{t}|>0$, ezért oszthatunk vele:

$\displaystyle a\cdot\cos\alpha'+b\cos\beta'+c\cos\gamma'=0.$

Az egyenlőségben az előjelek azon múlnak, hogy $\displaystyle \alpha'$, $\displaystyle \beta'$ és $\displaystyle \gamma'$ közül melyik hegyesszög.

Legyen $\displaystyle \overrightarrow{BA}=\underline{m}$, $\displaystyle \overrightarrow{BC}=\underline{n}$ és $\displaystyle \overrightarrow{BF}=\underline{p}$, valamint a három vektor hossza legyen rendre $\displaystyle m$, $\displaystyle n$ és $\displaystyle p$.

Mindegyik lapátló felírható két vektor különbségeként: $\displaystyle \underline{a}=\underline{p}-\underline{m}$, $\displaystyle \underline{b}=\underline{n}-\underline{p}$ és $\displaystyle \underline{c}=\underline{m}-\underline{n}$.

Ha egy ilyen lapátlót skalárisan szorzunk a testátlóval, ami $\displaystyle \underline{t}=\underline{m}+\underline{n}+\underline{p}$, akkor például $\displaystyle \underline{b}$-re ezt kapjuk: $\displaystyle (\underline{n}-\underline{p})(\underline{m}+\underline{n}+\underline{p})= \underline{n}^2-\underline{p}^2$, mert az egymásra merőleges vektorok skaláris szorzata 0. Ez egyenlő $\displaystyle bt\cos\beta'$-vel.

Tehát a három lapátló és a testátló skaláris szorzata rendre: $\displaystyle \underline{p}^2-\underline{m}^2=p^2-m^2=at\cos\alpha'$, $\displaystyle \underline{n}^2-\underline{p}^2=n^2-p^2=bt\cos\beta'$ és $\displaystyle \underline{m}^2-\underline{n}^2=m^2-n^2=ct\cos\gamma'$.

A feltétel miatt vagy $\displaystyle n<m<p$ vagy $\displaystyle p<m<n$. Az első esetben csak az $\displaystyle n^2-p^2$ negatív, ami azt jelenti, hogy $\displaystyle \beta'>90^{\circ}$. Ekkor

$\displaystyle a\cdot\cos\alpha'+b\cos\beta'+c\cos\gamma'=a\cdot\cos\alpha-b\cos\beta+c\cos\gamma=0.$

A második esetben $\displaystyle n^2-p^2>0$, és a másik két tag negatív, vagyis:

$\displaystyle a\cdot\cos\alpha'+b\cos\beta'+c\cos\gamma'=-a\cdot\cos\alpha+b\cos\beta-c\cos\gamma=0.$

Ezt $\displaystyle -1$-gyel szorozva szintén a bizonyítandó állítást kapjuk.

Temesvári Fanni (Budapest, ELTE Radnóti M. Gyak. Isk., 12. o. t.) megoldása alapján

Statisztika:

17 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Sziegl Benedek, Temesvári Fanni.
4 pontot kapott:	Bekő Mária, Denke Dorottya, Farkas Dóra, Hegel Patrik, Telek Máté László, Tóth Zsófia, Zsiros Ádám.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2013. novemberi matematika feladatai