 |
A C. 1201. feladat (2013. december) |
C. 1201. Az ABCD négyzet AB oldalára kifelé rajzolt AEB egyenlőszárú háromszög E csúcsnál lévő szárszöge 135o. Legyen az AD és a BE egyenesek metszéspontja P, a CE és az AB egyenesek metszéspontja pedig Q. Igazoljuk, hogy AP=BQ.
(5 pont)
A beküldési határidő 2014. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Az adatok alapján megállapíthatjuk, hogy a négyzet négy csúcsa és az \(\displaystyle E\) csúcs egy szabályos nyolcszög öt csúcsát adja. Tudjuk, hogy a szabályos nyolcszög köré kör írható. Mivel \(\displaystyle AB = BC\), \(\displaystyle PAB\angle = QBC \angle = 90^{\circ}\) és \(\displaystyle ABE \angle = ECB \angle\) (ugyanabban a körben egyenlő hosszúságú húrokhoz tartozó egyenlő kerületi szögekről van szó), ezért az \(\displaystyle ABP\) háromszög és a \(\displaystyle BCQ\) háromszög egybevágó. Vagyis \(\displaystyle AP = BQ\).
Statisztika:
55 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bajnok Anna, Barna Kinga, Bekő Mária, Bereczki Zoltán, Berta Dénes, Chourfi Abdel Karim, Daku Gábor, Demeter Dániel, Denke Dorottya, Dombrovszky Borbála, Erdei Ákos, Farkas Dóra, Fényes Balázs, Ficsor Enikő, Gnandt Balázs, Hegel Patrik, Kaló Ádám, Kovács 425 Adorján Márk, Kovács 599 Bálint, Kovács 972 Márton, Kranczler Dóra, Krisztián Jonatán, Nagy Dávid, Nguyen Anh Tuan, Paulovics Zoltán, Rácz József, Rimóczi Alma, Rozenberszki Dávid, Semegi Judit, Somogyi Zoltán, Szabó 157 Dániel, Szabó 524 Tímea, Sziegl Benedek, Szűcs Dorina, Tekeli Miklós, Telek Máté László, Temesvári Fanni, Várkonyi Ádám, Zsiros Ádám. 4 pontot kapott: Hegyesi János Géza, Hegyi Zoltán, Horváth Bendegúz, Misli Bence, Nemecskó Júlia, Orbán Szandra, Torma Lili Eszter. 3 pontot kapott: 5 versenyző. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2013. decemberi matematika feladatai