A C. 1204. feladat (2014. január)

C. 1204. Az ABCD és az EFGH konvex négyszög oldalfelező pontjai egybeesnek. Igazoljuk, hogy a két négyszög egyenlő területű.

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Bebizonyítjuk, hogy tetszőleges konvex négyszög területe kétszerese a felezőpontjai által meghatározott négyszög területének. Ebből már következik az állítás, hiszen ha két négyszög oldalfelezőpontjai egybeesnek, akkor az általuk meghatározott négyszög is egybeesik, így ezek területe nyilván ugyanakkora, és így az eredeti négyszögek területe is egyenlő.

Tekintsük a következő ábrát.

Mivel E és F felezőpontok, ezért a B középpontú, 1:2 arányú kicsinyítés az ABC háromszöget az EBF háromszögbe viszi: $EBF\triangle\sim ABC\triangle$ , a hasonlóság aránya 1:2. A területek aránya ennek négyzete, tehát $t_{EBF}=\frac14t_{ABC}$ .

Hasonlóan kapjuk, hogy $t_{HGD}=\frac14t_{ACD}$ , $t_{AEH}=\frac14t_{ABD}$ és $t_{FGC}=\frac14t_{BDC}$ .

Ezeket összeadva:

$t_{EBF}+t_{HGD}+t_{AEH}+t_{FGC}=\frac14t_{ABC}+\frac14t_{ACD}+\frac14t_{ABD}+\frac14t_{BDC}=$

$=\frac14(t_{ABC}+t_{ACD})+\frac14(t_{ABD}+t_{BDC})=\frac14t_{ABCD}+\frac14t_{ABCD}=\frac12t_{ABCD}.$

Ebből pedig már következik az állítás:

$t_{EFGH}=t_{ABCD}-(t_{EBF}+t_{HGD}+t_{AEH}+t_{FGC})=t_{ABCD}-\frac12t_{ABCD}=\frac12t_{ABCD}.$

Statisztika:

93 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 65 versenyző.

4 pontot kapott: 13 versenyző.

3 pontot kapott: 4 versenyző.

2 pontot kapott: 2 versenyző.

1 pontot kapott: 5 versenyző.

0 pontot kapott: 3 versenyző.

Nem versenyszerű: 1 dolgozat.

A KöMaL 2014. januári matematika feladatai

93 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	65 versenyző.
4 pontot kapott:	13 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?