 |
A C. 1208. feladat (2014. január) |
C. 1208. Adottak a síkon a PQRL és az LSTA azonos körüljárású paralelogrammák, melyeknek az L ponton kívül nincs közös része. Igazoljuk, hogy mindig található egy (esetleg hurkolt vagy elfajuló) ABCDE ötszög a síkon, amelyben az oldalak felezőpontjai a megadott sorrendben P, Q, R, S, T.
(5 pont)
A beküldési határidő 2014. február 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A bizonyításhoz kihasználjuk a vektorokra vonatkozó paralelogramma szabályt, amely miatt →LQ=→LP+→LR, illetve →LT=→LA+→LS.
Felhasználjuk még, hogy az →a és →b vektor felezőpontjába mutató →v vektorra →v=→a+→b2, amiből →b=2→v−→a.
Azt fogjuk bizonyítani, hogy az A pontot sorra tükrözve a P, Q, R, S és T pontokra, az utolsó tükörkép maga az A pont lesz.
Jelölje tehát az A pont tükörképét a P pontra B. Ekkor →LB=2→LP−→LA.
A B pont tükörképe a Q pontra legyen C. Ekkor →LC=2→LQ−→LB=2(→LP+→LR)−(2→LP−→LA)=2→LR+→LA.
A C pont tükörképe az R pontra legyen D. Ekkor →LD=2→LR−→LC=2→LR−(2→LR+→LA)=−→LA.
A D pont tükörképe az S pontra legyen E. Ekkor →LE=2→LS−→LD=2→LS+→LA.
Végül az E pont tükörképét a T pontra jelölje F. Ekkor →LF=2→LT−→LE=2(→LA+→LS)−(2→LS+→LA)=→LA.
Vagyis →LF=→LA, és így valóban F≡A, tehát az így kapott ABCDE ötszög megfelelő.
Statisztika:
20 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bereczki Zoltán, Farkas Dóra, Fényes Balázs, Gnandt Balázs, Hegel Patrik, Jójárt Alexandra, Telek Máté László. 4 pontot kapott: Chourfi Abdel Karim, Demeter Dániel, Hegyesi János Géza, Szabó 524 Tímea, Temesvári Fanni. 3 pontot kapott: 4 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2014. januári matematika feladatai
|
|