A C. 1209. feladat (2014. január)

C. 1209. A C külső pontból húzzunk érintőket egy körhöz, az érintési pontok legyenek A és B. A rövidebbik AB íven vegyük fel az M pontot. Az M pontból az AB, BC és CA szakaszokra bocsátott merőleges szakaszok legyenek rendre MN, ME és MD. Adjuk meg az MNE háromszög területét, ha MN=4, MD=2 és $AMB\sphericalangle=120^{\circ}$ .

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Készítsünk ábrát.

A kerületi szögek tétele miatt DAM $\angle$ =MBA $\angle$ , mindkettő az MA ívhez tartozó kerületi szög; illetve EBM $\angle$ =MAB $\angle$ , hiszen mindkettő az MB ívhez tartozó kerületi szög. Tudjuk még, hogy MDA $\angle$ =MNB $\angle$ =90^o és MEB $\angle$ =MNA $\angle$ =90^o. Ezekből már - két-két szög egyenlősége miatt - következik, hogy $DAM\triangle\sim NBM\triangle$ és $EBM\triangle\sim NAM\triangle$ . Mivel DM=2 és MN=4, ezért a DAM és az NBM háromszög esetén a hasonlóság aránya 1:2, és így MB=2MA. Ebből pedig az következik, hogy az EBM és az NAM háromszög esetén a hasonlósági arány 2:1. Innen pedig EM=2MN=8 következik.

Az EBM és az NAM háromszög hasonlóságából az is következik, hogy EMB $\angle$ =AMN $\angle$ . Emiatt NME $\angle$ =NMB $\angle$ +EMB $\angle$ =NMB $\angle$ +AMN $\angle$ =120^o.

Az MNE háromszög területe: $t=\frac12MN\cdot EM\cdot\sin NME\angle= \frac12\cdot4\cdot8\cdot\sin120^{\circ}=8\sqrt3$ .

Statisztika:

30 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Barna Kinga, Beke 997 Tamás, Bekő Mária, Bereczki Zoltán, Chourfi Abdel Karim, Demeter Dániel, Denke Dorottya, Farkas Dóra, Gnandt Balázs, Hegel Patrik, Hegyesi János Géza, Hegyi Zoltán, Kácsor Szabolcs, Kovács 972 Márton, Kranczler Dóra, Paulovics Zoltán, Rimóczi Alma, Sziegl Benedek, Telek Máté László, Temesvári Fanni, Tóth Zsófia, Zsiros Ádám.

4 pontot kapott: Szabó 157 Dániel.

3 pontot kapott: 2 versenyző.

2 pontot kapott: 2 versenyző.

1 pontot kapott: 1 versenyző.

0 pontot kapott: 2 versenyző.

A KöMaL 2014. januári matematika feladatai

30 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Barna Kinga, Beke 997 Tamás, Bekő Mária, Bereczki Zoltán, Chourfi Abdel Karim, Demeter Dániel, Denke Dorottya, Farkas Dóra, Gnandt Balázs, Hegel Patrik, Hegyesi János Géza, Hegyi Zoltán, Kácsor Szabolcs, Kovács 972 Márton, Kranczler Dóra, Paulovics Zoltán, Rimóczi Alma, Sziegl Benedek, Telek Máté László, Temesvári Fanni, Tóth Zsófia, Zsiros Ádám.
4 pontot kapott:	Szabó 157 Dániel.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?