A C. 1210. feladat (2014. február)

C. 1210. Négy zsákban liszt van. Határozzuk meg, melyik zsák a legnehezebb, ha három mérés után a következőt állíthatjuk: az első zsák a másodikkal együtt kisebb, a harmadikkal együtt ugyanannyi és a negyedikkel együtt nagyobb tömegű, mint a másik két zsák.

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen az első zsák tömege \(\displaystyle a\) kg, a másodiké \(\displaystyle b\) kg, a harmadiké \(\displaystyle c\) kg, a negyediké \(\displaystyle d\) kg. Ekkor \(\displaystyle a+b<c+d\) (1), \(\displaystyle a+c=b+d\) (2) és \(\displaystyle b+c<a+d\) (3).

(1) és (2) összege: \(\displaystyle 2a+b+c<b+c+2d\), amiből \(\displaystyle 2a<2d\), vagyis \(\displaystyle a<d\) következik.

(1) és (3) összege: \(\displaystyle a+2b+c<a+c+2d\), innen \(\displaystyle b<d\) következik.

Végül (2) és (3) összege: \(\displaystyle a+b+2c<a+b+2d\), amiből \(\displaystyle c<d\).

Tehát \(\displaystyle d\)-nél \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) is kisebb, vagyis a negyedik zsák a legnehezebb.

Megjegyzés: Ilyen számok léteznek, pl. \(\displaystyle a=3\), \(\displaystyle b=1\), \(\displaystyle c=2\) és \(\displaystyle d=4\).

Statisztika:

168 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	135 versenyző.
4 pontot kapott:	11 versenyző.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	9 dolgozat.

A KöMaL 2014. februári matematika feladatai