A C. 1221. feladat (2014. március)

C. 1221. Az \(\displaystyle ABCD\) négyzet \(\displaystyle AD\) oldalának felezőpontja \(\displaystyle F\), az \(\displaystyle AB\) oldalának \(\displaystyle B\)-hez közelebbi negyedelőpontja \(\displaystyle N\). Milyen arányban osztja az \(\displaystyle AFN\) háromszög köré írt köre az \(\displaystyle AC\) átlót?

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyenek a négyzet csúcsainak koordinátái \(\displaystyle A(0;0)\), \(\displaystyle B(4;0)\), \(\displaystyle C(4,4)\) és \(\displaystyle D(0,4)\). Ekkor \(\displaystyle F(0;2)\) és \(\displaystyle N(3;0)\).

Az \(\displaystyle AFN\) háromszög derékszögű, körülírt körének középpontja az \(\displaystyle FN\) szakasz felezőpontja, \(\displaystyle K(1,5;1)\). A kör sugara \(\displaystyle r=\frac{FN}{2}=\frac{\sqrt{(-3)^2+2^2}}{2}=\frac{\sqrt{13}}{2}\). Így a kör egyenlete: \(\displaystyle (x-1,5)^2+(y-1)^2=\frac{13}{4}\).

Az \(\displaystyle AC\) átló egyenesének egyenlete \(\displaystyle x=y\). Ezt behelyettesítve a kör egyenletbe, majd az egyenletet rendezve és megoldva:

\(\displaystyle (x-1,5)^2+(x-1)^2=\frac{13}{4},\)

\(\displaystyle x^2-3x+2,25+x^2-2x+1=3,25,\)

\(\displaystyle 2x^2-5x=0,\)

\(\displaystyle x(2x-5)=0,\)

\(\displaystyle x_1=0\) és \(\displaystyle x_2=2,5\).

Tehát a két metszéspont \(\displaystyle A(0;0)\) és \(\displaystyle P(2,5;2,5)\).

Legyen \(\displaystyle P_x(\frac52;0)\). Ekkor a párhuzamos szelők tétele szerint \(\displaystyle \frac{AP}{PC}=\frac{AP_x}{P_xB}=\frac{2,5}{1,5}=\frac53\), tehát az \(\displaystyle AFN\) háromszög köré írt köre az \(\displaystyle AC\) átlót 5:3 arányban osztja .

Statisztika:

113 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	53 versenyző.
4 pontot kapott:	36 versenyző.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2014. márciusi matematika feladatai