A C. 1221. feladat (2014. március)

C. 1221. Az $\displaystyle ABCD$ négyzet $\displaystyle AD$ oldalának felezőpontja $\displaystyle F$, az $\displaystyle AB$ oldalának $\displaystyle B$-hez közelebbi negyedelőpontja $\displaystyle N$. Milyen arányban osztja az $\displaystyle AFN$ háromszög köré írt köre az $\displaystyle AC$ átlót?

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyenek a négyzet csúcsainak koordinátái $\displaystyle A(0;0)$, $\displaystyle B(4;0)$, $\displaystyle C(4,4)$ és $\displaystyle D(0,4)$. Ekkor $\displaystyle F(0;2)$ és $\displaystyle N(3;0)$.

Az $\displaystyle AFN$ háromszög derékszögű, körülírt körének középpontja az $\displaystyle FN$ szakasz felezőpontja, $\displaystyle K(1,5;1)$. A kör sugara $\displaystyle r=\frac{FN}{2}=\frac{\sqrt{(-3)^2+2^2}}{2}=\frac{\sqrt{13}}{2}$. Így a kör egyenlete: $\displaystyle (x-1,5)^2+(y-1)^2=\frac{13}{4}$.

Az $\displaystyle AC$ átló egyenesének egyenlete $\displaystyle x=y$. Ezt behelyettesítve a kör egyenletbe, majd az egyenletet rendezve és megoldva:

$\displaystyle (x-1,5)^2+(x-1)^2=\frac{13}{4},$

$\displaystyle x^2-3x+2,25+x^2-2x+1=3,25,$

$\displaystyle 2x^2-5x=0,$

$\displaystyle x(2x-5)=0,$

$\displaystyle x_1=0$ és $\displaystyle x_2=2,5$.

Tehát a két metszéspont $\displaystyle A(0;0)$ és $\displaystyle P(2,5;2,5)$.

Legyen $\displaystyle P_x(\frac52;0)$. Ekkor a párhuzamos szelők tétele szerint $\displaystyle \frac{AP}{PC}=\frac{AP_x}{P_xB}=\frac{2,5}{1,5}=\frac53$, tehát az $\displaystyle AFN$ háromszög köré írt köre az $\displaystyle AC$ átlót 5:3 arányban osztja .

Statisztika:

113 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	53 versenyző.
4 pontot kapott:	36 versenyző.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2014. márciusi matematika feladatai