A C. 1222. feladat (2014. március)

C. 1222. Egy mértani sorozat első négy elemének összege 15,6, reciprokaik összege 12,48. Melyik ez a négy szám, ha az első elem 0,1?

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje a sorozat hányadosát \(\displaystyle q\). Ekkor tudjuk, hogy \(\displaystyle 0,1+0,1q+0,1q^2+0,1q^3=15,6\), vagyis \(\displaystyle 0,1(1+q+q^2+q^3)=15,6\), amiből

\(\displaystyle 1+q+q^2+q^3=156.\)

A reciprokok összegét is felírhatjuk: \(\displaystyle 10+\frac{10}{q}+\frac{10}{q^2}+\frac{10}{q^3}=12,48\), vagyis \(\displaystyle 10\cdot\frac{q^3+q^2+q+1}{q^3}=12,48\). A számlálóba beírva a fent kapott eredményt:

\(\displaystyle 10\cdot\frac{156}{q^3}=12,48,\)

amiből \(\displaystyle q^3=125\), vagyis \(\displaystyle q=5\).

Vagyis a sorozat első négy eleme: \(\displaystyle a_1=0,1\), \(\displaystyle a_2=0,5\), \(\displaystyle a_3=2,5\) és \(\displaystyle a_4=12,5\).

Statisztika:

51 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bajnok Anna, Beke 997 Tamás, Bekő Mária, Bereczki Zoltán, Bögös Dániel, Chourfi Abdel Karim, Dányi Gábor, Demeter Dániel, Denke Dorottya, Dombrovszky Borbála, Erdei Ákos, Farkas Bence, Farkas Dóra, Fényes Balázs, Fülöp Erik, Gnandt Balázs, Hári Krisztina, Hegel Patrik, Hegyi Zoltán, Horváth Bendegúz, Jójárt Alexandra, Kácsor Szabolcs, Kenderes Anett, Kovács 599 Bálint, Kranczler Dóra, Krisztián Jonatán, Magyar Nándor Dávid, Mályusz Dominika, Nguyen Anh Tuan, Paulovics Zoltán, Porupsánszki István, Schefler Barna, Somogyi Zoltán, Szabó 157 Dániel, Szabó 524 Tímea, Sziegl Benedek, Szűcs Dorina, Szvetnik Ákos, Tekeli Miklós, Telek Máté László, Temesvári Fanni, Tóth Zsófia, Várkonyi Ádám, Zhorela Viktor, Zsiros Ádám.
4 pontot kapott:	Hajnal 713 Roland, Mészáros Gabriella, Nagy Dávid, Rimóczi Alma, Szűcs Miklós.
3 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2014. márciusi matematika feladatai