Problem C. 1228. (April 2014)

C. 1228. All cups are different in our kitchen cupboard. One third of them has the handle broken off. How many cups have we got if the number of ways to select two cups without handles and three with handles is exactly 1200?

(5 pont)

Deadline expired on May 12, 2014.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A bögrék száma legyen \(\displaystyle 3b\), így \(\displaystyle b\) darab fületlen és \(\displaystyle 2b\) darab ép bögrénk van. Két fületlen bögrét \(\displaystyle \binom b2\), három épet pedig \(\displaystyle \binom {2b}{3}\)-féleképp tudunk kiválasztani egymástól függetlenül, így felírható a következő egyenlet:

\(\displaystyle \binom b2\cdot\binom{2b}{3}=1200,\)

\(\displaystyle \frac{b(b-1)}{2}\cdot\frac{2b\cdot(2b-1)(2b-2)}{6}=1200,\)

\(\displaystyle \frac{b(b-1)\cdot2b(2b-1)\cdot2(b-1)}{12}=1200,\)

\(\displaystyle b^2(b-1)^2(2b-1)=3600=60^2.\)

Mivel a jobb oldalon négyzetszám áll, és a bal oldal két tényezője is négyzetszám, így a harmadik tényező is az kell, hogy legyen: \(\displaystyle 2b-1\) négyzetszám, éspedig 3600 páratlan osztója. Mivel \(\displaystyle 3600=2^4\cdot3^2\cdot5^2\), így \(\displaystyle 2b-1\) lehetséges értékei: 1, 9, 25, 225.

Ha \(\displaystyle 2b-1=1\), akkor \(\displaystyle b=1\), de ekkor \(\displaystyle b^2(b-1)^2(2b-1)=0\).

Ha \(\displaystyle 2b-1=9\), akkor \(\displaystyle b=5\), ami megfelelő. Ekkor a bögrék száma 15.

Ha \(\displaystyle 2b-1=25\), akkor \(\displaystyle b=13\), és \(\displaystyle 13^2\) nem osztója 3600-nak.

Ha \(\displaystyle 2b-1=225\), akkor \(\displaystyle b=113\), ez szintén nem megoldás.

Megjegyzés: Mivel legalább 3 bögre van és \(\displaystyle b\geq3\) esetén a bal oldal szigorúan monoton nő, ezért csak egyszer lehet az értéke pontosan 1200. Némi próbálgatással megkapjuk, hogy ez \(\displaystyle b=5\) esetén következik be.

Statistics:

105 students sent a solution.
5 points:	Balázs Ákos Miklós, Bekő Zsófia, Bereczki Zoltán, Borbényi Márton, Brányi Balázs, Chourfi Abdel Karim, Csahók Tímea, Fényes Balázs, Hegel Patrik, Horváth 016 Gábor, Kerekes Anna, Kis 913 Levente, Knoch Júlia, Kovács 162 Viktória, Kovács 246 Benedek, Krisztián Jonatán, Mihálykó Péter, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy 911 Viktória, Papp 535 Ágnes, Polgár Márton, Porupsánszki István, Radnai Bálint, Sándor Gergely, Somogyi Pál, Szabó 157 Dániel, Szemerédi Levente, Temesvári Fanni.
4 points:	Bálint Karola, Denke Dorottya, Döbröntei Dávid Bence, Gáspár Attila, Heinc Emília, Horváth Péter, Klász Viktória, Kormányos Hanna Rebeka, Mátyus Adrienn, Paulovics Zoltán, Rimóczi Alma, Schefler Barna, Szücs Patrícia, Várkonyi Dorka, Varsányi András.
3 points:	32 students.
2 points:	22 students.
1 point:	5 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2014