Problem C. 1229. (April 2014)

C. 1229. A sphere is cut with the plane whose distance from the centre is 2/3 of the radius. What fraction of the volume is cut off?

(5 pont)

Deadline expired on May 12, 2014.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A gömb sugarát jelölje \(\displaystyle r\), a levágott gömbszelet magasságát pedig \(\displaystyle m\). Az adatokból következik, hogy \(\displaystyle m=r-\frac23r=\frac r3\). A gömb térfogata \(\displaystyle V_g=\frac{4\pi}{3}r^3\). A gömbszelet térfogata:

\(\displaystyle V_{gsz}=\frac{\pi}{3}m^2(3r-m)=\frac{\pi}{3}\left(\frac r3\right)^2\left(3r-\frac r3\right)=\)

\(\displaystyle =\frac{\pi}{3}\cdot\frac{r^2}{9}\cdot\frac{8r}{3}=\frac{4\pi}{3}r^3\cdot\frac{2}{27}=V_g\cdot\frac{2}{27}.\)

Tehát a gömb térfogatának \(\displaystyle \frac{2}{27}\) részét vágja le a sík.

Statistics:

32 students sent a solution.
5 points:	Bálint Karola, Bekő Mária, Bereczki Zoltán, Berta Dénes, Chourfi Abdel Karim, Demeter Dániel, Denke Dorottya, Erdei Ákos, Fényes Balázs, Fülöp Erik, Hegel Patrik, Hegyi Zoltán, Jójárt Alexandra, Kiss 182 Krisztina, Kranczler Dóra, Krisztián Jonatán, Molnár Dávid, Nagy Dávid, Paulovics Zoltán, Porupsánszki István, Rimóczi Alma, Szabó 157 Dániel, Szabó 524 Tímea, Szűcs Dorina, Szűcs Miklós, Tari Balázs, Telek Máté László, Temesvári Fanni.
4 points:	Beregi Ábel.
3 points:	3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2014