A C. 1229. feladat (2014. április)

C. 1229. Mekkora hányadát vágja le egy gömb térfogatának az a sík, amelynek távolsága a gömb középpontjától a gömb sugarának 2/3-a?

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. május 12-én LEJÁRT.

Megoldás. A gömb sugarát jelölje $\displaystyle r$, a levágott gömbszelet magasságát pedig $\displaystyle m$. Az adatokból következik, hogy $\displaystyle m=r-\frac23r=\frac r3$. A gömb térfogata $\displaystyle V_g=\frac{4\pi}{3}r^3$. A gömbszelet térfogata:

$\displaystyle V_{gsz}=\frac{\pi}{3}m^2(3r-m)=\frac{\pi}{3}\left(\frac r3\right)^2\left(3r-\frac r3\right)=$

$\displaystyle =\frac{\pi}{3}\cdot\frac{r^2}{9}\cdot\frac{8r}{3}=\frac{4\pi}{3}r^3\cdot\frac{2}{27}=V_g\cdot\frac{2}{27}.$

Tehát a gömb térfogatának $\displaystyle \frac{2}{27}$ részét vágja le a sík.

Statisztika:

32 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bálint Karola, Bekő Mária, Bereczki Zoltán, Berta Dénes, Chourfi Abdel Karim, Demeter Dániel, Denke Dorottya, Erdei Ákos, Fényes Balázs, Fülöp Erik, Hegel Patrik, Hegyi Zoltán, Jójárt Alexandra, Kiss 182 Krisztina, Kranczler Dóra, Krisztián Jonatán, Molnár Dávid, Nagy Dávid, Paulovics Zoltán, Porupsánszki István, Rimóczi Alma, Szabó 157 Dániel, Szabó 524 Tímea, Szűcs Dorina, Szűcs Miklós, Tari Balázs, Telek Máté László, Temesvári Fanni.
4 pontot kapott:	Beregi Ábel.
3 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2014. áprilisi matematika feladatai