A C. 1232. feladat (2014. május)

C. 1232. Egy háromszögben a $\displaystyle b$ oldalhoz tartozó súlyvonal hossza kétszer olyan hosszú, mint a $\displaystyle c$ oldalhoz tartozó súlyvonal és merőleges rá. Mekkora a háromszög kerülete, ha az $\displaystyle a$ oldalhoz tartozó súlyvonal hossza 60 cm?

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Használjuk a szokásos jelöléseket. Legyen az $\displaystyle F_CS$ szakasz hossza $\displaystyle x$. Ekkor $\displaystyle SC=2x$, $\displaystyle SF_B=2x$ és $\displaystyle SB=4x$. Mivel az $\displaystyle SCB$ háromszög derékszögű, felírhatjuk rá a Pitagorasz-tételt: $\displaystyle (2x)^2+(4x)^2=a^2$, amiből $\displaystyle a=2\sqrt5x$, és innen $\displaystyle BF_A=\sqrt5x$.

Az $\displaystyle F_CSB$ derékszögű háromszögre felírva a Pitagorasz-tételt: $\displaystyle F_CB^2=x^2+(4x)^2=17x^2$, amiből $\displaystyle F_CB=\sqrt{17}x$, és így $\displaystyle c=2\sqrt{17}x$.

Az $\displaystyle SCF_B$ derékszögű háromszögre felírva a Pitagorasz-tételt: $\displaystyle F_BC^2=(2x)^2+(2x)^2=8x^2$, amiből $\displaystyle F_BC=\sqrt{8}x$, és így $\displaystyle b=2\sqrt{8}x$.

Tudjuk, hogy $\displaystyle AF_A=60$, aminek $\displaystyle SF_A$ a harmada, vagyis $\displaystyle SF_A=20$. A Thalesz-tétel megfordítása miatt $\displaystyle SF_A=BF_A$, vagyis $\displaystyle 20=\sqrt5x$, amiből $\displaystyle x=4\sqrt5$.

A kerület tehát:

$\displaystyle k=2\sqrt5\cdot4\sqrt5+2\sqrt{17}\cdot4\sqrt5+2\sqrt8\cdot4\sqrt5\approx164,35~{\rm(cm)}.$

Statisztika:

64 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	55 versenyző.
4 pontot kapott:	4 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2014. májusi matematika feladatai