A C. 1234. feladat (2014. május)

C. 1234. Egy deltoid egyik szöge derékszög, a vele szemközti szöge \(\displaystyle 30^\circ\), a rövidebbik oldala 10 cm. Mekkora annak a négyzetnek az oldalhossza, amelynek három csúcsa a deltoid egy-egy oldalára esik, az egyik oldala pedig párhuzamos a deltoid hosszabbik oldalával?

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Két eset van, az egyikben a három csúcsból kettő a rövidebbik oldalra esik, a másikban pedig a hosszabbik oldalra. Mindkét esetben jelölje a deltoid derékszögű csúcsát \(\displaystyle C\), a vele szemközti csúcsot \(\displaystyle A\). Mivel az \(\displaystyle A\) csúcsnál lévő szög \(\displaystyle 30^{\circ}\)-os, így a másik két szög \(\displaystyle 120^{\circ}\).

Az \(\displaystyle EFGH\) négyzet \(\displaystyle HE\) oldala párhuzamos \(\displaystyle BA\)-val, ezért \(\displaystyle HED\angle=BAE\angle\), mert párhuzamos szárú szögek. Így \(\displaystyle HED\angle=30^{\circ}\), és így a \(\displaystyle HDE\) háromszög harmadik szöge, \(\displaystyle DHE\angle=180^{\circ}-120^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}\). Jelölje \(\displaystyle D\) merőleges vetületét \(\displaystyle HE\)-re \(\displaystyle D'\).

I. eset. Legyen \(\displaystyle EH=2x\). Ekkor a \(\displaystyle HDD'\) háromszög egy szabályos háromszög fele, melyben \(\displaystyle HD'=x\), és így \(\displaystyle HD=\frac{2}{\sqrt3}x\).

Tekintsük a \(\displaystyle HCG\) háromszöget. Itt \(\displaystyle HCG\angle=90^{\circ}\), \(\displaystyle CHG\angle=180^{\circ}-(DHE\angle+EHG\angle)=180^{\circ}-(30^{\circ}+90^{\circ})=60^{\circ}\), és így \(\displaystyle CGH\angle=30^{\circ}\), a \(\displaystyle HCG\) háromszög is egy szabályos háromszög fele. A háromszög oldala \(\displaystyle HG=2x\) és így \(\displaystyle HC=x\). Tudjuk, hogy \(\displaystyle DC=10\), ebből

\(\displaystyle 10=\frac{2}{\sqrt3}x+x=x\left(\frac{2}{\sqrt3}+1\right),\)

amiből a négyzet oldala már számolható:

\(\displaystyle 2x=\frac{20}{\frac{2}{\sqrt3}+1}=\frac{20\sqrt3}{2+\sqrt3}=\frac{20\sqrt3(2-\sqrt3)}{1}= 40\sqrt3-60\approx9,28~{\rm (cm)}.\)

II. eset. Legyen \(\displaystyle DH=x\). Ekkor a \(\displaystyle HDD'\) háromszög egy szabályos háromszög fele, melyben \(\displaystyle HD'=\frac{\sqrt3}{2}x\), és így a négyzet oldala \(\displaystyle \sqrt3x\). Mivel \(\displaystyle DC=10\), így \(\displaystyle HC=10-x\). Tekintsük a \(\displaystyle CHS\) háromszöget. Ebben az I. esetbeli \(\displaystyle HCG\) háromszögben látott módon \(\displaystyle CHS\angle=60^{\circ}\), a háromszög egy szabályos háromszög fele, így \(\displaystyle CS=\sqrt3(10-x)\) és \(\displaystyle HS=20-2x\). Az \(\displaystyle SGB\) háromszög szintén egy szabályos háromszög fele, hiszen a \(\displaystyle G\) csúcsnál derékszög van, az \(\displaystyle S\) csúcsnál pedig \(\displaystyle 30^{\circ}\). Mivel \(\displaystyle SG=\sqrt3x-(20-2x)\), így \(\displaystyle SB=\frac{2}{\sqrt3}(\sqrt3x-(20-2x))\).

Mivel \(\displaystyle SB+CS=10\), így felírható a következő egyenlet, amiből majd \(\displaystyle \sqrt3x\)-et megkapjuk:

\(\displaystyle \frac{2}{\sqrt3}(\sqrt3x-(20-2x))+\sqrt3(10-x)=10,\)

\(\displaystyle 2x-\frac{40}{\sqrt3}+\frac{4}{\sqrt3}x+10\sqrt3-\sqrt3x=10,\)

\(\displaystyle 2\sqrt3x-40+4x+30-3x=10\sqrt3,\)

\(\displaystyle x(2\sqrt3+1)=10+10\sqrt3,\)

\(\displaystyle x=\frac{10+10\sqrt3}{2\sqrt3+1},\)

\(\displaystyle \sqrt3x=\frac{10\sqrt3+30}{2\sqrt3+1}=\frac{(10\sqrt3+30)(2\sqrt3-1)}{12-1}=\)

\(\displaystyle =\frac{60-10\sqrt3+60\sqrt3-30}{11}=\frac{30+50\sqrt3}{11}\approx 10,60~{\rm(cm)}.\)

Statisztika:

72 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bereczki Ádám, Bereczki Zoltán, Kerekes Anna, Kis 913 Levente, Papp 535 Ágnes, Széles Katalin, Sziegl Benedek.
4 pontot kapott:	Polgár Márton.
3 pontot kapott:	47 versenyző.
2 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2014. májusi matematika feladatai