 |
A C. 1236. feladat (2014. május) |
C. 1236. Adjuk meg azon körök sugarának összegét, melyek középpontja az y tengelyen van és érinti az (x−5)2+(y−5)2=25 egyenletű kört és az y=43x+6 egyenest.
(5 pont)
A beküldési határidő 2014. június 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A k kör sugara 5, középpontja pedig K(5;5). Az új, l kör érintse az e egyenest A, a k kört a B pontban, középpontja pedig legyen L(0;y). Az LA szakasz hossza megegyezik az LB szakaszéval, ez l sugara. A KL távolság megegyezik a KB és a BL szakaszok összegével, mivel egymást kívülről érintő körök középpontjainak távolságát sugaraik hosszának összegéből kaphatjuk meg. (A körök nem érinthetik egymást belülről, mert k kör az y tengelyt érinti, így nem jön létre az l kör.) Tehát KL=KB+BL=KB+LA. KB=5, LA pedig pont és egyenes előjeles távolságára vonatkozó képlet (y1−mx1−b√m2+1, ahol x1 és y1 a pont koordinátái, m-et és b-t pedig az egyenlet y=mx+b alakban történő felírásából kapjuk meg) alapján az egyenes és az L pont előjeles távolsága: y−43⋅0−6√(43)2+1=y−6√259=y−653=3y−185. Ez y>6 esetén pozitív, y<6 esetén negatív, és y=6 esetén lenne 0, ekkor azonban a kör sugara 0 lenne, így ez nem lehet. Tehát két eset van.
Az első esetben 3y−185>0, így KL=5+3y−185=3y+75.
A KL távolságot számolhatjuk a két pont távolságára vonatkozó összefüggésből is: KL=√(0−5)2+(y−5)2=√y2−10y+50. A két egyenlet egyenlő, így 3y+75=√y2−10y+50. Az egyenlet jobb oldalán a gyökjel alatt nemnegatív szám állhat. Ez mindig teljesül, hiszen y2−10y+50=(y−5)2+25. Hogy az egyenletet négyzetre emelhessük, a bal oldalon is nemnegatív számnak kell állnia, így 3y+75≥0, vagyis y≥−73. A négyzetre emelés után:
(3y+75)2=y2−10y+50,
9y2+42y+4925=y2−10y+50,
9y2+42y+49=25y2−250y+1250,
16y2−292y+1201=0.
Másodfokú megoldóképletet alkalmazva:
y1,2=292±√2922−4⋅16⋅12012⋅16=292±√840032=73±√5258,
tehát y1=73+√5258 és y2=73−√5258. Ebből a sugarak: r1=3y1−185=3⋅73+√5258−185=75+3√52540 és r2=3y2−185=3⋅73−√5258−185=75−3√52540.
Második esetben 3y−185<0, így a távolság −3y−185=18−3y5, tehát KL=5+18−3y5=43−3y5. A KL távolság az első esethez hasonlóan KL=√y2−10y+50. A két egyenlet egyenlő, így 43−3y5=√y2−10y+50. A gyökjel alatt nemnegatív szám állhat (ld. első eset), így az egyenlet négyzetre emeléséhez a bal oldalon is nemnegatív számnak kell állnia, tehát 43−3y5≥0, vagyis y≤−433. A négyzetre emelés után:
(43−3y5)2=y2−10y+50,
9y2−258y+184925=y2−10y+50,
9y2−258y+1849=25y2−250y+1250,
16y2+8y−599=0.
Másodfokú megoldóképletet alkalmazva:
y3,4=−8±√82−4⋅16⋅(−599)2⋅16=−8±√3840032=−1±√6004,
tehát y3=−1+√6004 és y4=−1−√6004.
Ebből a sugarak: r3=18−3y35=18−3⋅−1+√60045=75−3√60020 és r418−3y45=18−3⋅−1−√60045==75+3√60020. Vagyis
r1+r2+r3+r4=75+3√52540+75−3√52540+75−3√60020+75+3√60020=
=75+3√525+75−3√52540+150−6√600+150+6√60040=45040=11,25.
Tehát a körök sugarainak összege 11,25 egység.
Temesvári Fanni (Budapest, ELTE Radnóti Miklós Gyakorló Gimnázium, 12. évf.)
Statisztika:
21 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Erdei Ákos, Farkas Dóra, Fényes Balázs, Krisztián Jonatán, Nagy 911 Viktória, Porupsánszki István, Sziegl Benedek, Temesvári Fanni. 4 pontot kapott: Bereczki Zoltán, Hegel Patrik, Hegyi Zoltán, Jójárt Alexandra, Szűcs Dorina. 3 pontot kapott: 4 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2014. májusi matematika feladatai
|
|