Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1238. feladat (2014. szeptember)

C. 1238. Melyek lehetnek az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) számjegyek, ha a 10-es számrendszerben felírt számokra fennáll, hogy \(\displaystyle \overline{aa\vphantom{b}}^2+\overline{bb}=\overline{cccc\vphantom{b}}\)?

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az egyenlet így is írható:

\(\displaystyle (11a)^2+11b=1111c,\)

\(\displaystyle (11a)^2+11b=11\cdot101c,\)

amit 11-gyel osztva kapjuk, hogy

\(\displaystyle 11a^2+b=101c.\)

Mivel \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) számjegyek, ezért 11 nagyobb \(\displaystyle b\)-nél. Így végignézve a \(\displaystyle c=1\), \(\displaystyle c=2\) stb. eseteket, mindegyikre egyértelműen kapunk egy \(\displaystyle b\) értéket, illetve a hozzá tartozó \(\displaystyle a^2\) értéket is.

\(\displaystyle c\) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
\(\displaystyle b\) 2 4 6 8 10 lenne, vagyis nincs megoldás 1 3 5 7
\(\displaystyle a^2\) 9 18 27 36 45 55 64 73 82
\(\displaystyle a\) 3 6 8  

Ezek közül csak három esetben kapunk négyzetszámot. Ez a három eset adja a feladat három megoldását: \(\displaystyle (a,b,c)\) értéke \(\displaystyle (3,2,1)\), \(\displaystyle (6,8,4)\) vagy \(\displaystyle (8,3,7)\).

Statisztika:

258 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:157 versenyző.
4 pontot kapott:37 versenyző.
3 pontot kapott:8 versenyző.
2 pontot kapott:18 versenyző.
1 pontot kapott:23 versenyző.
0 pontot kapott:9 versenyző.
Nem versenyszerű:6 dolgozat.

A KöMaL 2014. szeptemberi matematika feladatai