A C. 1238. feladat (2014. szeptember)

C. 1238. Melyek lehetnek az $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$ számjegyek, ha a 10-es számrendszerben felírt számokra fennáll, hogy $\displaystyle \overline{aa\vphantom{b}}^2+\overline{bb}=\overline{cccc\vphantom{b}}$?

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az egyenlet így is írható:

$\displaystyle (11a)^2+11b=1111c,$

$\displaystyle (11a)^2+11b=11\cdot101c,$

amit 11-gyel osztva kapjuk, hogy

$\displaystyle 11a^2+b=101c.$

Mivel $\displaystyle a$, $\displaystyle b$ és $\displaystyle c$ számjegyek, ezért 11 nagyobb $\displaystyle b$-nél. Így végignézve a $\displaystyle c=1$, $\displaystyle c=2$ stb. eseteket, mindegyikre egyértelműen kapunk egy $\displaystyle b$ értéket, illetve a hozzá tartozó $\displaystyle a^2$ értéket is.

Ezek közül csak három esetben kapunk négyzetszámot. Ez a három eset adja a feladat három megoldását: $\displaystyle (a,b,c)$ értéke $\displaystyle (3,2,1)$, $\displaystyle (6,8,4)$ vagy $\displaystyle (8,3,7)$.

Statisztika:

258 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	157 versenyző.
4 pontot kapott:	37 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	18 versenyző.
1 pontot kapott:	23 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2014. szeptemberi matematika feladatai