A C. 1241. feladat (2014. szeptember)

C. 1241. Oldjuk meg a következő egyenletet:

$\displaystyle \left(\frac{x-1}{2} \right)^{2} + \frac12 = \left|\frac{4x}{x+3}\right| - \frac12.$

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A $\displaystyle \frac{4x}{x+3}$ előjele szerint két esetre bontjuk a megoldást (nyilván $\displaystyle x\neq-3$).

I. eset: $\displaystyle x<-3$ vagy $\displaystyle x\geq0$. Ekkor az egyenlet:

$\displaystyle \left(\frac{x-1}{2} \right)^{2} + \frac12 = \frac{4x}{x+3} - \frac12.$

Mindkét oldalt szorozva $\displaystyle 4(x+3)$-mal:

$\displaystyle (x-1)^2(x+3)+2(x+3)=16x-2(x+3),$

a zárójeleket felbontva és rendezve:

$\displaystyle x^3+x^2-17x+15=0.$

Behelyettesítve $\displaystyle x=1$-et, az megoldást ad, így a kifejezés felbontható:

$\displaystyle (x-1)(x^2+2x-15)=0.$

A másodfokú egyenletet megoldva még két megoldást kapunk: $\displaystyle x_2=3$ és $\displaystyle x_3=-5$. Mindhárom megoldás a megadott intervallumok egyikébe esik.

II. eset: $\displaystyle -3<x<0$. Ekkor az egyenlet és átalakításai:

$\displaystyle \left(\frac{x-1}{2} \right)^{2} + \frac12 = \frac{-4x}{x+3} - \frac12,$

$\displaystyle x^3+x^2+15x+15=0.$

Ekkor $\displaystyle x=-1$ gyök, így azt kapjuk, hogy $\displaystyle (x+1)(x^2+15)=0$. Mivel $\displaystyle x^2+15>0$, így itt csak egy gyököt kaptunk: $\displaystyle x_4=-1$.

A megoldások: $\displaystyle x_1=1$, $\displaystyle x_2=3$, $\displaystyle x_3=-5$ és $\displaystyle x_4=-1$.

Statisztika:

248 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	145 versenyző.
4 pontot kapott:	46 versenyző.
3 pontot kapott:	15 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	12 versenyző.
0 pontot kapott:	17 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2014. szeptemberi matematika feladatai