A C. 1245. feladat (2014. október)

C. 1245. Vegyünk két szomszédos háromszögszámot, és az egyik háromszorosához adjuk hozzá a másikat. Mutassuk meg, hogy így ismét háromszögszámot kapunk.

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az $\displaystyle n$-edik háromszögszám: $\displaystyle h_n=\frac{n(n+1)}{2}$. Meg kell mutatnunk, hogy a $\displaystyle 3\cdot \frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n-1)n}{2}$ és a $\displaystyle 3\cdot \frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ is háromszögszám.

Alakítsuk át őket:

$\displaystyle 3\cdot \frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n-1)n}{2}=\frac{3n^2+3n+n^2-n}{2}=\frac{4n^2+2n}{2}=\frac{2n(2n+1)}{2}=h_{2n}$,

illetve $\displaystyle 3\cdot \frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n+1)(n+2)}{2}=\frac{3n^2+3n+n^2+3n+2}{2}=\frac{4n^2+6n+2}{2}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{2}=h_{2n+1}$.

Statisztika:

197 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	144 versenyző.
4 pontot kapott:	30 versenyző.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.

A KöMaL 2014. októberi matematika feladatai