A C. 1246. feladat (2014. október)

C. 1246. Egy húrtrapéz magassága 30 cm, szára 34 cm. A trapézba kör írható. Határozzuk meg a szárakon lévő érintési pontok távolságát.

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje az \(\displaystyle ABCD\) húrtrapéz \(\displaystyle D\), illetve \(\displaystyle C\) csúcsának merőleges vetületét az \(\displaystyle AB\) oldalra rendre \(\displaystyle D'\), illetve \(\displaystyle C'\). A Pitagorasz-tételt felírva az \(\displaystyle AD'D\) háromszögre kapjuk, hogy \(\displaystyle x=\sqrt{34^2-30^2}=16\).

Mivel trapézunk érintőnégyszög is, így szemközti oldalainak összege egyenlő: \(\displaystyle 2\cdot16+2y=2\cdot34\), amiből \(\displaystyle y=18\) adódik.

Mivel körhöz húzott érintőszakaszok hossza egyenlő, ezért \(\displaystyle CH=CF_2=y/2=9\). A beírt kör középpontján, \(\displaystyle O\)-n átmenő, alapokkal párhuzamos egyenes a trapéz középvonalában metszi a trapézt, így \(\displaystyle IC=34/2=17\) és \(\displaystyle OI=\frac12\cdot\frac{2x+2y}{2}=\frac12\cdot\frac{2\cdot16+2\cdot18}{2}=17\). Ebből \(\displaystyle C''I=17-y/2=17-9=8\). Mivel \(\displaystyle CKH\triangle\sim CC''I\), így a megfelelő oldalak aránya megegyezik: \(\displaystyle \frac{KH}{8}=\frac{9}{17}\), amiből \(\displaystyle KH=\frac{9\cdot8}{17}\). Ebből \(\displaystyle JH=9+\frac{72}{17}=\frac{225}{17}\). A kérdéses távolság ennek kétszerese, vagyis \(\displaystyle \frac{450}{17}\approx26,47\).

Statisztika:

171 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	128 versenyző.
4 pontot kapott:	11 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	13 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.

A KöMaL 2014. októberi matematika feladatai