A C. 1246. feladat (2014. október)

C. 1246. Egy húrtrapéz magassága 30 cm, szára 34 cm. A trapézba kör írható. Határozzuk meg a szárakon lévő érintési pontok távolságát.

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje az $\displaystyle ABCD$ húrtrapéz $\displaystyle D$, illetve $\displaystyle C$ csúcsának merőleges vetületét az $\displaystyle AB$ oldalra rendre $\displaystyle D'$, illetve $\displaystyle C'$. A Pitagorasz-tételt felírva az $\displaystyle AD'D$ háromszögre kapjuk, hogy $\displaystyle x=\sqrt{34^2-30^2}=16$.

Mivel trapézunk érintőnégyszög is, így szemközti oldalainak összege egyenlő: $\displaystyle 2\cdot16+2y=2\cdot34$, amiből $\displaystyle y=18$ adódik.

Mivel körhöz húzott érintőszakaszok hossza egyenlő, ezért $\displaystyle CH=CF_2=y/2=9$. A beírt kör középpontján, $\displaystyle O$-n átmenő, alapokkal párhuzamos egyenes a trapéz középvonalában metszi a trapézt, így $\displaystyle IC=34/2=17$ és $\displaystyle OI=\frac12\cdot\frac{2x+2y}{2}=\frac12\cdot\frac{2\cdot16+2\cdot18}{2}=17$. Ebből $\displaystyle C''I=17-y/2=17-9=8$. Mivel $\displaystyle CKH\triangle\sim CC''I$, így a megfelelő oldalak aránya megegyezik: $\displaystyle \frac{KH}{8}=\frac{9}{17}$, amiből $\displaystyle KH=\frac{9\cdot8}{17}$. Ebből $\displaystyle JH=9+\frac{72}{17}=\frac{225}{17}$. A kérdéses távolság ennek kétszerese, vagyis $\displaystyle \frac{450}{17}\approx26,47$.

Statisztika:

171 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	128 versenyző.
4 pontot kapott:	11 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	13 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.

A KöMaL 2014. októberi matematika feladatai