 |
A C. 1247. feladat (2014. október) |
C. 1247. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:
\(\displaystyle x+\sqrt y =1,\)
\(\displaystyle \sqrt x+y =1.\)
(5 pont)
A beküldési határidő 2014. november 10-én LEJÁRT.
1. megoldás. A második egyenletből \(\displaystyle x\)-et kifejezve: \(\displaystyle x=y^2-2y+1\). Ezt behelyettesítve az első egyenletbe: \(\displaystyle y^2-2y+1+\sqrt y=1\), amiből \(\displaystyle y^2-2y+\sqrt y=0\). Legyen \(\displaystyle a=\sqrt y\). Ha \(\displaystyle a=0\), akkor \(\displaystyle y_1=0\) és így \(\displaystyle x_1=1\). Ha \(\displaystyle a\neq0\), akkor osztva vele, kapjuk:
\(\displaystyle a^3-2a+1=0.\)
Ennek gyöke \(\displaystyle a=1\), ekkor \(\displaystyle y_2=1\) és \(\displaystyle x_2=0\). Ezt felhasználva könnyen szorzattá bonthatunk:
\(\displaystyle a^3-2a+1=(a-1)(a^2+a-1).\)
A szorzat második tényezője \(\displaystyle a\)-ra nézve másodfokú, így a megoldóképlettel kapjuk, hogy \(\displaystyle a=\frac{-1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}\).
A negatív gyök nem lehet megoldás, így \(\displaystyle a=\frac{\sqrt5-1}{2}\), amiből \(\displaystyle y_3=\left(\frac{\sqrt5-1}{2}\right)^2=\frac{3-\sqrt5}{2}\) és \(\displaystyle x_3=\frac{(3-\sqrt5)^2-12+4\sqrt5+4}{4}=\frac{6-2\sqrt5}{4}=\frac{3-\sqrt5}{2}\).
2. megoldás (vázlat) A második egyenletből kivonva az elsőt, majd a tagokat csoportosítva:
\(\displaystyle (x-y)-(\sqrt x-\sqrt y)=0.\)
Az \(\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) azonosságot felhasználva a kifejezés szorzattá bontható:
\(\displaystyle (\sqrt x-\sqrt y)(\sqrt x+\sqrt y)-(\sqrt x-\sqrt y)=0,\)
\(\displaystyle (\sqrt x-\sqrt y)(\sqrt x+\sqrt y-1)=0.\)
Egy szorzat pontosan akkor 0, ha legalább az egyik tényezője 0. Ebből \(\displaystyle \sqrt y=\sqrt x\) vagy \(\displaystyle \sqrt y=1-\sqrt x\). Mindkettőt visszahelyettesíthetjük az első egyenletbe. Mindkét esetben egy \(\displaystyle \sqrt x\)-re másodfokú egyenletet kapunk, amit megoldunk. Ebből \(\displaystyle \sqrt y\) értékét is, majd \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) értékét is megkapjuk.
Statisztika:
269 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 74 versenyző. 4 pontot kapott: 54 versenyző. 3 pontot kapott: 44 versenyző. 2 pontot kapott: 35 versenyző. 1 pontot kapott: 33 versenyző. 0 pontot kapott: 23 versenyző. Nem versenyszerű: 6 dolgozat.
A KöMaL 2014. októberi matematika feladatai