A C. 1247. feladat (2014. október)

C. 1247. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

$\displaystyle x+\sqrt y =1,$

$\displaystyle \sqrt x+y =1.$

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. november 10-én LEJÁRT.

1. megoldás. A második egyenletből $\displaystyle x$-et kifejezve: $\displaystyle x=y^2-2y+1$. Ezt behelyettesítve az első egyenletbe: $\displaystyle y^2-2y+1+\sqrt y=1$, amiből $\displaystyle y^2-2y+\sqrt y=0$. Legyen $\displaystyle a=\sqrt y$. Ha $\displaystyle a=0$, akkor $\displaystyle y_1=0$ és így $\displaystyle x_1=1$. Ha $\displaystyle a\neq0$, akkor osztva vele, kapjuk:

$\displaystyle a^3-2a+1=0.$

Ennek gyöke $\displaystyle a=1$, ekkor $\displaystyle y_2=1$ és $\displaystyle x_2=0$. Ezt felhasználva könnyen szorzattá bonthatunk:

$\displaystyle a^3-2a+1=(a-1)(a^2+a-1).$

A szorzat második tényezője $\displaystyle a$-ra nézve másodfokú, így a megoldóképlettel kapjuk, hogy $\displaystyle a=\frac{-1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}$.

A negatív gyök nem lehet megoldás, így $\displaystyle a=\frac{\sqrt5-1}{2}$, amiből $\displaystyle y_3=\left(\frac{\sqrt5-1}{2}\right)^2=\frac{3-\sqrt5}{2}$ és $\displaystyle x_3=\frac{(3-\sqrt5)^2-12+4\sqrt5+4}{4}=\frac{6-2\sqrt5}{4}=\frac{3-\sqrt5}{2}$.

2. megoldás (vázlat) A második egyenletből kivonva az elsőt, majd a tagokat csoportosítva:

$\displaystyle (x-y)-(\sqrt x-\sqrt y)=0.$

Az $\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ azonosságot felhasználva a kifejezés szorzattá bontható:

$\displaystyle (\sqrt x-\sqrt y)(\sqrt x+\sqrt y)-(\sqrt x-\sqrt y)=0,$

$\displaystyle (\sqrt x-\sqrt y)(\sqrt x+\sqrt y-1)=0.$

Egy szorzat pontosan akkor 0, ha legalább az egyik tényezője 0. Ebből $\displaystyle \sqrt y=\sqrt x$ vagy $\displaystyle \sqrt y=1-\sqrt x$. Mindkettőt visszahelyettesíthetjük az első egyenletbe. Mindkét esetben egy $\displaystyle \sqrt x$-re másodfokú egyenletet kapunk, amit megoldunk. Ebből $\displaystyle \sqrt y$ értékét is, majd $\displaystyle x$ és $\displaystyle y$ értékét is megkapjuk.

Statisztika:

269 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	74 versenyző.
4 pontot kapott:	54 versenyző.
3 pontot kapott:	44 versenyző.
2 pontot kapott:	35 versenyző.
1 pontot kapott:	33 versenyző.
0 pontot kapott:	23 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2014. októberi matematika feladatai