 |
A C. 1248. feladat (2014. október) |
C. 1248. Határozzuk meg az összes ¯abc háromjegyű számot, melyre ¯abc=a!+b!+c!, ahol n! jelöli 1-től n-ig a pozitív egész számok szorzatát.
(5 pont)
A beküldési határidő 2014. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Ha 1-től 7-ig összeszorozzuk az egész számokat, akkor 5040-et kapunk, így a keresett számjegyek között nem szerepelhet a 7, a 8 és a 9. Ha 1-től 6-ig szorozzuk össze a számokat, akkor 720-at kapunk. Ha a számjegyek között szerepelne a 6, akkor a keresett szám legalább 720 lenne, tehát szerepelne benne 7, 8 vagy 9. Ez viszont nem lehet, így 6 sem szerepelhet a számjegyek között. A legnagyobb számjegy tehát 5 lehet. Ha csak 5-nél kisebb számjegyekből állna a szám, akkor a legnagyobb értéke 24+24+24 lehetne, ami nem éri el a 100-at, így legalább egy 5-ös van a számjegyek között. Ez az 5-ös nem állhat az első helyen, mert ha minden számjegy 5 lenne, akkor is csak 120+120+120=360 lehetne a számunk, ami nem éri el az 500-at. Ha két 5-ös lenne a számban, akkor az első számjegy 2-es lenne (mert 120+120+1 200-nál több, de 120+120+24 300-nál kevesebb), tehát csak a 255 jöhetne szóba, azonban 2+120+120=242, ez tehát nem jó. Tehát csak egy 5-ös lehet a számban, ekkor viszont 1-essel kell kezdődnie. Négy esetet kell tehát kipróbálnunk: ha a számjegyek 1, 1, 5; 1, 2, 5; 1, 3, 5; 1, 4, 5. A megfelelő összegek: 1+1+120=122; 1+2+120=123; 1+6+120=127; 1+24+120=145. Tehát az egyetlen megoldása a feladatnak a 145.
Statisztika:
271 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 138 versenyző. 4 pontot kapott: 64 versenyző. 3 pontot kapott: 25 versenyző. 2 pontot kapott: 23 versenyző. 1 pontot kapott: 11 versenyző. 0 pontot kapott: 8 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2014. októberi matematika feladatai
|
|