 |
A C. 1249. feladat (2014. október) |
C. 1249. Oldjuk meg a következő egyenletet:
\(\displaystyle \sqrt{\frac{\cos {15}^\circ}2 x^2 - \cos {45}^\circ x + \sin {15}^\circ}=3 +4\sin^2 15^\circ. \)
(5 pont)
A beküldési határidő 2014. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Vegyük a gyök alatt álló kifejezés kétszeresét, és próbáljuk meg teljes négyzetté alakítani:
\(\displaystyle \cos15^{\circ}x^2-2\cos45^{\circ}x+2\sin15^{\circ}=A^2.\)
Ha \(\displaystyle A=\sqrt{\cos15^{\circ}}x-\sqrt{2\sin15^{\circ}}\), akkor
\(\displaystyle A^2=\cos15^{\circ}x^2-2\sqrt{2\cos15^{\circ}\sin15^{\circ}}x+2\sin15^{\circ}=\)
\(\displaystyle =\cos15^{\circ}x^2-2\sqrt{\sin30^{\circ}}x+2\sin15^{\circ}=\)
\(\displaystyle =\cos15^{\circ}x^2-2\sqrt{\frac12}x+2\sin15^{\circ}=\)
\(\displaystyle \cos15^{\circ}x^2-2\cos45^{\circ}x+2\sin15^{\circ}.\)
Az egyenlet tehát így írható:
\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt2}\cdot|\sqrt{\cos15^{\circ}}x-\sqrt{2\sin15^{\circ}}|=3+4\sin^215^{\circ}.\)
I. eset: Ha az abszolútérték alatt pozitív szám áll. Ekkor:
\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt2}\sqrt{\cos15^{\circ}}x=3+4\sin^215^{\circ}+\sqrt{\sin15^{\circ}},\)
ebből
\(\displaystyle x_1=\frac{\sqrt2(3+4\sin^215^{\circ}+\sqrt{\sin15^{\circ}})}{\sqrt{\cos15^{\circ}}}\approx5,4344.\)
Ekkor \(\displaystyle \sqrt{\cos15^{\circ}}\cdot5,4344>\sqrt{2\sin15^{\circ}}\), ami valóban ez az eset.
II. eset: Ha az abszolútérték alatt negatív szám áll. Ekkor:
\(\displaystyle -\frac{1}{\sqrt2}\sqrt{\cos15^{\circ}}x=3+4\sin^215^{\circ}-\sqrt{\sin15^{\circ}},\)
ebből
\(\displaystyle x_2=\frac{\sqrt2(-3-4\sin^215^{\circ}+\sqrt{\sin15^{\circ}})}{\sqrt{\cos15^{\circ}}}\approx-3,9703.\)
Ekkor \(\displaystyle \sqrt{\cos15^{\circ}}\cdot-3,9703<\sqrt{2\sin15^{\circ}}\), ami valóban ez az eset.
Statisztika:
139 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 81 versenyző. 4 pontot kapott: 22 versenyző. 3 pontot kapott: 8 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 8 versenyző. 0 pontot kapott: 15 versenyző.
A KöMaL 2014. októberi matematika feladatai