A C. 1249. feladat (2014. október)

C. 1249. Oldjuk meg a következő egyenletet:

$\displaystyle \sqrt{\frac{\cos {15}^\circ}2 x^2 - \cos {45}^\circ x + \sin {15}^\circ}=3 +4\sin^2 15^\circ.$

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Vegyük a gyök alatt álló kifejezés kétszeresét, és próbáljuk meg teljes négyzetté alakítani:

$\displaystyle \cos15^{\circ}x^2-2\cos45^{\circ}x+2\sin15^{\circ}=A^2.$

Ha $\displaystyle A=\sqrt{\cos15^{\circ}}x-\sqrt{2\sin15^{\circ}}$, akkor

$\displaystyle A^2=\cos15^{\circ}x^2-2\sqrt{2\cos15^{\circ}\sin15^{\circ}}x+2\sin15^{\circ}=$

$\displaystyle =\cos15^{\circ}x^2-2\sqrt{\sin30^{\circ}}x+2\sin15^{\circ}=$

$\displaystyle =\cos15^{\circ}x^2-2\sqrt{\frac12}x+2\sin15^{\circ}=$

$\displaystyle \cos15^{\circ}x^2-2\cos45^{\circ}x+2\sin15^{\circ}.$

Az egyenlet tehát így írható:

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt2}\cdot|\sqrt{\cos15^{\circ}}x-\sqrt{2\sin15^{\circ}}|=3+4\sin^215^{\circ}.$

I. eset: Ha az abszolútérték alatt pozitív szám áll. Ekkor:

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt2}\sqrt{\cos15^{\circ}}x=3+4\sin^215^{\circ}+\sqrt{\sin15^{\circ}},$

ebből

$\displaystyle x_1=\frac{\sqrt2(3+4\sin^215^{\circ}+\sqrt{\sin15^{\circ}})}{\sqrt{\cos15^{\circ}}}\approx5,4344.$

Ekkor $\displaystyle \sqrt{\cos15^{\circ}}\cdot5,4344>\sqrt{2\sin15^{\circ}}$, ami valóban ez az eset.

II. eset: Ha az abszolútérték alatt negatív szám áll. Ekkor:

$\displaystyle -\frac{1}{\sqrt2}\sqrt{\cos15^{\circ}}x=3+4\sin^215^{\circ}-\sqrt{\sin15^{\circ}},$

ebből

$\displaystyle x_2=\frac{\sqrt2(-3-4\sin^215^{\circ}+\sqrt{\sin15^{\circ}})}{\sqrt{\cos15^{\circ}}}\approx-3,9703.$

Ekkor $\displaystyle \sqrt{\cos15^{\circ}}\cdot-3,9703<\sqrt{2\sin15^{\circ}}$, ami valóban ez az eset.

Statisztika:

139 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	81 versenyző.
4 pontot kapott:	22 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	15 versenyző.

A KöMaL 2014. októberi matematika feladatai