 |
A C. 1250. feladat (2014. október) |
C. 1250. Egy háromszög oldalai: \(\displaystyle a=2t-1\), \(\displaystyle b=t^2-1\), \(\displaystyle c=t^2-t+1\), ahol \(\displaystyle t>1\) valós szám. Bizonyítsuk be, hogy a háromszög beírt körének sugara \(\displaystyle (t-1)\frac{\sqrt 3}2\).
(5 pont)
A beküldési határidő 2014. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Írjuk fel a koszinusz-tételt:
\(\displaystyle (t^2-t+1)^2=(2t-1)^2+(t^2-1)^2-2(2t-1)(t^2-1)\cos\gamma,\)
| \(\displaystyle (t^2-t+1)^2-(t^2-1)^2-(2t-1)^2=-2(2t-1)(t^2-1)\cos\gamma.\) | (1) |
Alakítsuk át a bal oldalt:
\(\displaystyle (t^2-t+1)^2-(t^2-1)^2-(2t-1)^2=(2t^2-t)(-t+2)-(2t-1)^2=\)
\(\displaystyle =t(2t-1)(-t+2)-(2t-1)^2=(2t-1)(-t^2+2t)-(2t-1)^2=\)
\(\displaystyle =(2t-1)(-t^2+2t-2t+1)=(2t-1)(-t^2+1).\)
Mivel \(\displaystyle 2t-1\) és \(\displaystyle t^2-1\) egyike sem 0, hiszen egy háromszög oldalai, ezért oszthatjuk az (1) egyenlet mindkét oldalát \(\displaystyle -2(2t-1)(t^2-1)\)-gyel, így kapjuk, hogy \(\displaystyle \cos\gamma=\frac12\), és így \(\displaystyle \gamma=60^{\circ}\).
A háromszög kerülete, \(\displaystyle k=2t^2+t-1\). Ezt felhasználva:
\(\displaystyle 2t=\varrho(2t^2+t-1)=ab\sin\gamma=(2t-1)(t^2-1)\frac{\sqrt3}{2},\)
\(\displaystyle \varrho(2t-1)(t+1)=(2t-1)(t-1)(t+1)\frac{\sqrt3}{2},\)
amiből valóban \(\displaystyle \varrho=(t-1)\frac{\sqrt3}{2}\) következik.
Statisztika:
57 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Ahaan S. Rungta, Balázs Ákos Miklós, Bálint Karola, Bereczki Zoltán, Bottlik Judit, Brányi Balázs, Csizi Bence, Egyházi Anna, Erdei Ákos, Farkas Dóra, Fényes Balázs, Fülöp Erik, Gurdics Dávid, Iglódi Ferenc, Jójárt Alexandra, Kaprinai Ádám, Kasó Ferenc, Kocsis-Savanya Miklós, Kósa Szilárd, Kovács 599 Bálint, Krisztián Jonatán, Lénárt Levente, Mátyus Adrienn, Nagy 314 Kristóf , Orosz Bálint, Papdi Pál Soma, Rejtő Balázs, Révy Gábor, Sándor Gergely, Sudár Ákos, Szász Róbert, Szépfalvi Bálint, Sziegl Benedek, Szűcs Dorina, Szücs Patrícia, Tari Balázs, Tóth Katalin, Török Réka , Varjas István Péter, Vida Máté Gergely. 4 pontot kapott: Csorba Benjámin, Fehér Balázs, Kaló Ádám, Koch Lilla, Mándoki Sára, Matusek Márton, Porupsánszki István, Tamás 196 Attila, Telek Máté László. 3 pontot kapott: 5 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2014. októberi matematika feladatai