A C. 1251. feladat (2014. október)

C. 1251. Egy egységnyi sugarú félkör alakú fémlemezt három körszelet levágásával trapézzá szabunk át. Hogyan válasszuk meg a trapéz méreteit, hogy a hulladék minimális legyen?

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A hulladék pontosan akkor minimális, ha a kapott trapéz területe maximális. A trapéz húrtrapéz, egyik alapja a kör átmérője, így hossza 2. Magasságát \(\displaystyle m\)-mel, a másik alap hosszát \(\displaystyle 2x\)-szel jelölve felírható az ábrán látható derékszögű háromszögre a Pitagorasz-tétel: \(\displaystyle m^2+x^2=1\), amiből \(\displaystyle x=\sqrt{1-m^2}\).

A trapéz területe így \(\displaystyle m\) függvényében:

\(\displaystyle f(m)=\frac{(2+2\sqrt{1-m^2})\cdot m}{2}=m+m\sqrt{1-m^2}.\)

Ennek ott lehet maximuma, ahol a deriváltja 0:

\(\displaystyle f'(m)=1+\sqrt{1-m^2}+m\cdot\frac{1}{\sqrt{1-m^2}}\cdot-2m\cdot\frac12=\)

\(\displaystyle =1+\sqrt{1-m^2}-\frac{m^2}{\sqrt{1-m^2}}= 1+\frac{1-m^2-m^2}{\sqrt{1-m^2}}=1+\frac{1-2m^2}{\sqrt{1-m^2}}=0.\)

Rendezve és négyzetre emelve:

\(\displaystyle 1=\frac{2m^2-1}{\sqrt{1-m^2}},\)

\(\displaystyle \sqrt{1-m^2}=2m^2-1,\)

\(\displaystyle 1-m^2=4m^4-4m^2+1,\)

\(\displaystyle 0=4m^4-3m^2=m^2(4m^2-3).\)

Mivel \(\displaystyle 0<m<1\), ezért most csak az \(\displaystyle m=\frac{\sqrt3}{2}\) lehet megoldás. Ennél kisebb \(\displaystyle m\) értékekre a derivált pozitív, nagyobbakra pedig negatív, így itt valóban maximum van. Ekkor a trapéz egy 1 oldalú szabályos hatszög fele.

Statisztika:

50 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bereczki Zoltán, Berta Dénes, Egyházi Anna, Fehér Balázs, Fényes Balázs, Fülöp Erik, Horváth Bendegúz, Jójárt Alexandra, Kasó Ferenc, Lénárt Levente, Mándoki Sára, Porupsánszki István, Sándor Gergely, Szász Róbert, Szépfalvi Bálint, Sziegl Benedek, Szűcs Dorina, Szücs Patrícia, Tamás 196 Attila, Tari Balázs, Török Réka .
4 pontot kapott:	Bálint Karola, Farkas Dóra, Juhász 333 Katalin, Matusek Márton, Mátyus Adrienn, Telek Máté László.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2014. októberi matematika feladatai