A C. 1254. feladat (2014. december)

C. 1254. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben a \(\displaystyle C\)-ből induló magasság \(\displaystyle T\) talppontjára teljesül, hogy \(\displaystyle AT=3TB\). Jelöljük az \(\displaystyle AB\) felezőpontját \(\displaystyle F\)-fel, továbbá a \(\displaystyle CT\) magasság azon pontját \(\displaystyle D\)-vel, ahonnan az \(\displaystyle AB\) derékszög alatt látszik. Igazoljuk, hogy ha az \(\displaystyle ABC\) háromszög magasságpontja egybeesik az \(\displaystyle FBD\) háromszög súlypontjával, akkor \(\displaystyle AD\) felezi a \(\displaystyle BAC\) szöget.

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. január 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Készítsünk ábrát. Jelölje az \(\displaystyle FBD\) háromszög súlypontját \(\displaystyle S\), a \(\displaystyle BS\) egyenesnek az \(\displaystyle AC\) oldallal való metszéspontját pedig \(\displaystyle Q\).

Legyen \(\displaystyle TB=x\). Ekkor \(\displaystyle AT=3x\) és így \(\displaystyle AB=4x\), amiből \(\displaystyle AF=FB=2x\) és \(\displaystyle FT=TB=x\). Mivel \(\displaystyle ADB\angle=90^{\circ}\), azért \(\displaystyle D\) illeszkedik az \(\displaystyle AB\) Thalesz-körére, aminek középpontja \(\displaystyle F\). Emiatt \(\displaystyle FD=FB\). Az is igaz, hogy a \(\displaystyle DT\) magasság egyben súlyvonal is, tehát \(\displaystyle DT\) oldalfelező merőleges, amiből \(\displaystyle DF=DB\) következik. Vagyis az \(\displaystyle FBD\) háromszög szabályos.

Ha \(\displaystyle S\) az \(\displaystyle ABC\) háromszög magasságpontja, akkor \(\displaystyle BQA\angle=90^{\circ}\). Tudjuk azt is, hogy \(\displaystyle QBA\angle=SBF\angle=30^{\circ}\). Ebből pedig \(\displaystyle QAB\angle=180^{\circ}-90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}\) következik. Mivel \(\displaystyle DAB\angle=180^{\circ}-ADB\angle-ABD\angle=180^{\circ}-90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}\), ami fele a \(\displaystyle QAB\) szögnek, azért \(\displaystyle AD\) valóban szögfelező.

Ha az \(\displaystyle ABC\angle\) derék- vagy tompaszög, akkor nincs az \(\displaystyle AT\) szakasznak olyan pontja, ahonnan az \(\displaystyle AB\) derékszög alatt látszik.

Statisztika:

117 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	76 versenyző.
4 pontot kapott:	17 versenyző.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2014. decemberi matematika feladatai