 |
A C. 1254. feladat (2014. december) |
C. 1254. Az ABC háromszögben a C-ből induló magasság T talppontjára teljesül, hogy AT=3TB. Jelöljük az AB felezőpontját F-fel, továbbá a CT magasság azon pontját D-vel, ahonnan az AB derékszög alatt látszik. Igazoljuk, hogy ha az ABC háromszög magasságpontja egybeesik az FBD háromszög súlypontjával, akkor AD felezi a BAC szöget.
(5 pont)
A beküldési határidő 2015. január 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Készítsünk ábrát. Jelölje az FBD háromszög súlypontját S, a BS egyenesnek az AC oldallal való metszéspontját pedig Q.
Legyen TB=x. Ekkor AT=3x és így AB=4x, amiből AF=FB=2x és FT=TB=x. Mivel ADB∠=90∘, azért D illeszkedik az AB Thalesz-körére, aminek középpontja F. Emiatt FD=FB. Az is igaz, hogy a DT magasság egyben súlyvonal is, tehát DT oldalfelező merőleges, amiből DF=DB következik. Vagyis az FBD háromszög szabályos.
Ha S az ABC háromszög magasságpontja, akkor BQA∠=90∘. Tudjuk azt is, hogy QBA∠=SBF∠=30∘. Ebből pedig QAB∠=180∘−90∘−30∘=60∘ következik. Mivel DAB∠=180∘−ADB∠−ABD∠=180∘−90∘−60∘=30∘, ami fele a QAB szögnek, azért AD valóban szögfelező.
Ha az ABC∠ derék- vagy tompaszög, akkor nincs az AT szakasznak olyan pontja, ahonnan az AB derékszög alatt látszik.
Statisztika:
117 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 76 versenyző. 4 pontot kapott: 17 versenyző. 3 pontot kapott: 11 versenyző. 2 pontot kapott: 7 versenyző. 1 pontot kapott: 5 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2014. decemberi matematika feladatai
|
|