A C. 1261. feladat (2014. december)

C. 1261. Hány olyan pozitív egészekből álló számhármas létezik, amelyek összege 30, és közülük bármely kettő összege nagyobb a harmadik számnál?

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. január 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle a\leq b\leq c\) és \(\displaystyle a+b+c=30\). Mivel \(\displaystyle a+b>c\), így \(\displaystyle c<15\), ugyanakkor \(\displaystyle 3\cdot9<30\), tehát \(\displaystyle c>9\).

Ha \(\displaystyle c=14\), akkor \(\displaystyle a+b=16\). A megfelelő (\(\displaystyle b,c\)) számpárok: (2,14), (3,13), ..., (8,8), ami 7 eset.

Ha \(\displaystyle c=13\), akkor \(\displaystyle a+b=17\), és így a lehetséges (\(\displaystyle b,c\)) párok: (4,13), (5,12), ..., (8,9), ami 5 eset.

Ha \(\displaystyle c=12\), akkor \(\displaystyle a+b=18\) és így a (\(\displaystyle b,c\)) számpárok (6,12), (7,11),... (9,9), ez 4 eset.

Ha \(\displaystyle c=11\), akkor \(\displaystyle a+b=19\), ekkor 2 jó számpár van: (8,11) és (9,10).

Ha \(\displaystyle c=10\), akkor \(\displaystyle a+b=20\), és az egyetlen jó megoldás az \(\displaystyle a=b=10\).

Összesen 19 megfelelő számhármas van.

Statisztika:

234 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	119 versenyző.
4 pontot kapott:	54 versenyző.
3 pontot kapott:	36 versenyző.
2 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	12 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2014. decemberi matematika feladatai