A C. 1261. feladat (2014. december)

C. 1261. Hány olyan pozitív egészekből álló számhármas létezik, amelyek összege 30, és közülük bármely kettő összege nagyobb a harmadik számnál?

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. január 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen $\displaystyle a\leq b\leq c$ és $\displaystyle a+b+c=30$. Mivel $\displaystyle a+b>c$, így $\displaystyle c<15$, ugyanakkor $\displaystyle 3\cdot9<30$, tehát $\displaystyle c>9$.

Ha $\displaystyle c=14$, akkor $\displaystyle a+b=16$. A megfelelő ($\displaystyle b,c$) számpárok: (2,14), (3,13), ..., (8,8), ami 7 eset.

Ha $\displaystyle c=13$, akkor $\displaystyle a+b=17$, és így a lehetséges ($\displaystyle b,c$) párok: (4,13), (5,12), ..., (8,9), ami 5 eset.

Ha $\displaystyle c=12$, akkor $\displaystyle a+b=18$ és így a ($\displaystyle b,c$) számpárok (6,12), (7,11),... (9,9), ez 4 eset.

Ha $\displaystyle c=11$, akkor $\displaystyle a+b=19$, ekkor 2 jó számpár van: (8,11) és (9,10).

Ha $\displaystyle c=10$, akkor $\displaystyle a+b=20$, és az egyetlen jó megoldás az $\displaystyle a=b=10$.

Összesen 19 megfelelő számhármas van.

Statisztika:

234 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	119 versenyző.
4 pontot kapott:	54 versenyző.
3 pontot kapott:	36 versenyző.
2 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	12 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2014. decemberi matematika feladatai