 |
A C. 1266. feladat (2015. január) |
C. 1266. Oldjuk meg az \(\displaystyle 5(2n+1)(2n+3)(2n+5) =\overline{ababab}\) egyenletet, ahol \(\displaystyle n\) pozitív egész számot, \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) különböző számjegyet, \(\displaystyle \overline{ababab}\) pedig egy hatjegyű számot jelöl.
Javasolta: Számadó László (Budapest)
(5 pont)
A beküldési határidő 2015. február 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A bal oldal az 5 páratlan többszörösével egyenlő, ezért \(\displaystyle b=5\). A jobb oldal: \(\displaystyle \overline{a5a5a5}=10101\cdot\overline{a5}=3\cdot7\cdot13\cdot37\cdot\overline{a5}\). Azt is tudjuk, hogy \(\displaystyle \overline{a5}=5\cdot c\), ahol \(\displaystyle c\in\{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19\}\).
Tehát keresni kell olyan \(\displaystyle c\in\{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19\}\) számot, mellyel \(\displaystyle 3\cdot7\cdot13\cdot37c\) felírható három egymást követő páratlan szám szorzataként.
Ha az egyik páratlan szám 37 többszöröse, akkor a szorzatuk túl nagy, ugyanis a 37-et a lehető legkisebb számmal, 3-mal szorozva is túl nagy lenne a kapott legkisebb szorzat: \(\displaystyle 111\cdot113\cdot115>10101\cdot19\).
Tehát az egyik szám a 37. Mivel a 41 prímszám, és a jobb oldalon nem szerepel, így nincs a számok között. Megnézve a \(\displaystyle 33\cdot35\cdot37\) esetet, az sem jó. \(\displaystyle 35\cdot37\cdot39\) a megfelelő számhármas: \(\displaystyle 35=5\cdot7\), \(\displaystyle 39=3\cdot13\), vagyis \(\displaystyle c=5\). A megoldás: \(\displaystyle 5\cdot35\cdot37\cdot39=252525,\) tehát \(\displaystyle n=17\), \(\displaystyle a=2\) és \(\displaystyle b=5\).
Statisztika:
136 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Ardai István Tamás, Bajnok Dénes, Balázs Ákos Miklós, Cseh Noémi, Di Giovanni András, Fekete Balázs Attila, Fetter László, Hegyi Krisztina, Jakus Balázs István, Knoch Júlia, Kocsis Júlia, Kovács 526 Tamás, Lajkó Áron, Mándoki László, Marozsák Tóbiás , Mikulás Hanna, Mikulás Zsófia, Nagy Enikő, Németh 729 Gábor, Pszota Máté, Sallai Krisztina, Schmid Stephanie, Schrettner Jakab, Sebastian Fodor, Souly Alexandra, Szajbély Sámuel, Szalay Bence, Szépkuti Fanni, Tamási Kristóf Áron, Temesvári Bence, Tóth Tamás, Török Ádám, Vajda Alexandra. 4 pontot kapott: 35 versenyző. 3 pontot kapott: 23 versenyző. 2 pontot kapott: 19 versenyző. 1 pontot kapott: 22 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2015. januári matematika feladatai