 |
A C. 1272. feladat (2015. január) |
C. 1272. Egy 100-tagú számtani sorozat összege a 68. tag nélkül 838, a 13. tag nélkül pedig 849. Mekkora a kihagyott tagok értéke?
(5 pont)
A beküldési határidő 2015. február 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A sorozat \(\displaystyle n.\) tagját jelölje \(\displaystyle a_n\), a differenciáját \(\displaystyle d\), az első 100 tag összegét pedig \(\displaystyle S\).
Tudjuk, hogy
| \(\displaystyle 838=S-a_{68}=S-(a_1+67d)=S-a_1-67d\) | (1) |
és
| \(\displaystyle 849=S-a_{13}=S-(a_1+12d)=S-a_1-12d.\) | (2) |
A (2) egyenletből az (1) egyenletet kivonva:
\(\displaystyle 11=55d,\)
amiből
\(\displaystyle d=\frac15.\)
Az első 100 tag összege: \(\displaystyle S=\frac{(a_1+a_{100})\cdot100}{2}=(a_1+a_1+99d)\cdot50=100a_1+4950d\). Ezt, valamint a fent kapott \(\displaystyle d\) értéket az (1) egyenletbe visszaírva:
\(\displaystyle 838=100a_1+4950d-a_1-67d=99a_1-4883d =99a_1+\frac{4883}{5},\)
amiből
\(\displaystyle a_1=-1,4.\)
Innen pedig \(\displaystyle a_{13}=a_1+12d=-1,4+\frac{12}{5}=1\) és \(\displaystyle a_{68}=a_1+67d=-1,4+\frac{67}{5}=12\).
Statisztika:
62 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Antal Márton, Bánóczi Anna, Bereczki Zoltán, Bese Csongor, Biczó Zsolt, Bodonhelyi Anna, Bottlik Judit, Bőzsöny András, Brányi Balázs, Egyházi Anna, Erdei Ákos, Farkas Dóra, Fehér Balázs, Fényes Balázs, Fülöp Erik, Jójárt Alexandra, Kaló Ádám, Kasó Ferenc, Koch Lilla, Kocsis-Savanya Miklós, Kósa Szilárd, Krisztián Jonatán, Krizsán Levente, Lénárt Levente, Mándoki Sára, Matusek Márton, Mátyus Adrienn, Mészáros 01 Viktória, Nagy 314 Kristóf , Pintér Eszter, Porupsánszki István, Rejtő Balázs, Révy Gábor, Sándor Gergely, Sipeki Gergely, Stumphauser Nóra, Sudár Ákos, Szabó 157 Dániel, Szász Róbert, Szauer Marcell, Sziegl Benedek, Szűcs Dorina, Szücs Patrícia, Tóth Bence Tamás, Török Réka , Varjas István Péter, Várkonyi Lídia, Vida Máté Gergely. 4 pontot kapott: 6 versenyző. 3 pontot kapott: 4 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2015. januári matematika feladatai