A C. 1280. feladat (2015. március)

C. 1280. Bizonyítsuk be, hogy ha az \(\displaystyle m\) és \(\displaystyle n\) természetes számok relatív prímek, akkor \(\displaystyle m+n\) és \(\displaystyle m^2+n^2\) legnagyobb közös osztója 1 vagy 2.

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje \(\displaystyle m+n\) és \(\displaystyle m^2+n^2\) legnagyobb közös osztóját \(\displaystyle d\). Ekkor \(\displaystyle d\) osztója \(\displaystyle (m+n)^2\)-nek is, vagyis \(\displaystyle d|(m+n)^2-(m^2+n^2)=2mn\) is teljesül.

Tegyük fel, hogy \(\displaystyle d=2k\), ahol \(\displaystyle k>1\). Ekkor \(\displaystyle k\)-nak van prímosztója, melyet jelöljön \(\displaystyle p\). Nyilván \(\displaystyle p|2mn\) is teljesül, és mivel \(\displaystyle (m,n)=1\) és \(\displaystyle p\) prím, ezért ekkor \(\displaystyle p\) az \(\displaystyle m\) és az \(\displaystyle n\) számok közül pontosan az egyiknek osztója, tehát a két szám összegét nem oszthatja, ami ellentmondás. Tehát ha \(\displaystyle d\) páros, akkor csak 2 lehet.

Tegyük fel, hogy \(\displaystyle d=2k+1\), ahol \(\displaystyle k\geq1\). Ez páratlan szám. A fentihez hasonló gondolatmenettel most azt tesszük fel, hogy \(\displaystyle d\)-nek van 2-nél nagyobb prímosztója, és ugyanúgy ellentmondásra jutunk. Tehát ha \(\displaystyle d\) páratlan, akkor csak \(\displaystyle d=1\) lehetséges.

(Mindkettő előfordul. Ha \(\displaystyle m=n=1\), akkor \(\displaystyle m+n=m^2+n^2=2\) és \(\displaystyle d=2\), ha \(\displaystyle m=1\) és \(\displaystyle n=2\), akkor \(\displaystyle m+n=3\), \(\displaystyle m^2+n^2=5\) és \(\displaystyle d=1\).)

Statisztika:

71 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ardai István Tamás, Banczik Zoltán Ádám, Bindics Boldizsár, Csahók Tímea, Csapó Márton, Cseh Noémi, Fekete Balázs Attila, Fetter László, Glasznova Maja, Jakus Balázs István, Kálai Kristóf, Kiss 199 Tamara, Klász Viktória, Kocsis Júlia, Kormányos Hanna Rebeka, Kovács Kristóf, Marozsák Tóbiás , Mihálykó Péter, Mikulás Hanna, Mikulás Zsófia, Nanys Patrick, Novák Réka, Páhoki Tamás, Schrettner Jakab, Sebastian Fodor, Souly Alexandra, Szajkó Gréta, Szécsi Adél Lilla, Takács Péter György, Temesvári Bence, Tevesz Judit, Tóth Tamás, Wei Cong Wu.
4 pontot kapott:	Horváth Botond, Knoch Júlia, Nagy 911 Viktória, Szász Anna, Szepesvári Csongor, Török Ádám, Volford Anita, Zsombó István.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	12 versenyző.

A KöMaL 2015. márciusi matematika feladatai