A C. 1281. feladat (2015. március)

C. 1281. Egy trapéz szárainak metszéspontját jelölje $\displaystyle M$. Az alapokkal párhuzamos, $\displaystyle M$-en átmenő egyenesen jelölje $\displaystyle A$ és $\displaystyle B$ az egyenes metszéspontját a trapéz átlóinak meghosszabbításával. Bizonyítsuk be, hogy $\displaystyle |AM|=|BM|$.

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit. Az azonos módon jelölt szög-párok mind váltószögek és azért egyenlők egymással.

$\displaystyle AMV\triangle\sim YXV\triangle$ és $\displaystyle BMZ\triangle\sim XYZ\triangle$, mert két-két szögben megegyeznek. Emiatt a megfelelő oldalak aránya egyenlő:

$\displaystyle \frac{MV}{XV}=\frac{AM}{YX}\quad\rm{és}\quad\frac{MZ}{YZ}=\frac{BM}{XY}.$

A párhuzamos szelőszakaszok tételét felírva az $\displaystyle MX$, $\displaystyle MY$ egyenesre és a $\displaystyle VZ$, illetve $\displaystyle XY$, párhuzamos egyenesekre:

$\displaystyle \frac{MV}{VX}=\frac{MZ}{ZY}.$

A három egyenletet "egymásba fűzve":

$\displaystyle \frac{AM}{YX}=\frac{MV}{XV}=\frac{MZ}{ZY}=\frac{BM}{XY},$

vagyis

$\displaystyle \frac{AM}{YX}=\frac{BM}{YX},$

amiből $\displaystyle YY$-szel szorozva mindkét oldalt kapjuk, hogy

$\displaystyle AM=BM.$

Statisztika:

85 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	57 versenyző.
4 pontot kapott:	6 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2015. márciusi matematika feladatai