A C. 1281. feladat (2015. március)

C. 1281. Egy trapéz szárainak metszéspontját jelölje \(\displaystyle M\). Az alapokkal párhuzamos, \(\displaystyle M\)-en átmenő egyenesen jelölje \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) az egyenes metszéspontját a trapéz átlóinak meghosszabbításával. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle |AM|=|BM|\).

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit. Az azonos módon jelölt szög-párok mind váltószögek és azért egyenlők egymással.

\(\displaystyle AMV\triangle\sim YXV\triangle\) és \(\displaystyle BMZ\triangle\sim XYZ\triangle\), mert két-két szögben megegyeznek. Emiatt a megfelelő oldalak aránya egyenlő:

\(\displaystyle \frac{MV}{XV}=\frac{AM}{YX}\quad\rm{és}\quad\frac{MZ}{YZ}=\frac{BM}{XY}.\)

A párhuzamos szelőszakaszok tételét felírva az \(\displaystyle MX\), \(\displaystyle MY\) egyenesre és a \(\displaystyle VZ\), illetve \(\displaystyle XY\), párhuzamos egyenesekre:

\(\displaystyle \frac{MV}{VX}=\frac{MZ}{ZY}.\)

A három egyenletet "egymásba fűzve":

\(\displaystyle \frac{AM}{YX}=\frac{MV}{XV}=\frac{MZ}{ZY}=\frac{BM}{XY},\)

vagyis

\(\displaystyle \frac{AM}{YX}=\frac{BM}{YX},\)

amiből \(\displaystyle YY\)-szel szorozva mindkét oldalt kapjuk, hogy

\(\displaystyle AM=BM.\)

Statisztika:

85 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	57 versenyző.
4 pontot kapott:	6 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2015. márciusi matematika feladatai