A C. 1286. feladat (2015. március)

C. 1286. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

\(\displaystyle y^2 =x^3-3x^2+2x,\)

\(\displaystyle x^2 =y^3-3y^2+2y.\)

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Vonjuk ki egymásból a két egyenletet:

\(\displaystyle y^2-x^2=x^3-3x^2+2x-(y^3-3y^2+2y).\)

Átrendezve és szorzattá alakítva:

\(\displaystyle 0=(x^3-y^3)-2(x^2-y^2)+2(x-y),\)

\(\displaystyle 0=(x-y)(x^2+xy+y^2)-2(x-y)(x+y)+2(x-y),\)

\(\displaystyle 0=(x-y)(x^2+xy+y^2-2(x+y)+2),\)

\(\displaystyle 0=(x-y)(x^2+(y-2)x+(y^2-2y+2)).\)

Egy szorzat akkor lehet 0, ha egyik tényezője az.

Ha \(\displaystyle x-y=0\), akkor a két eredeti egyenlet megegyezik: \(\displaystyle x^2=x^3-3x^2+2x\), amiből \(\displaystyle 0=x^3-4x^2+2x=x(x^2-4x+2)\). Ebből \(\displaystyle x_1=y_1=0\). Az \(\displaystyle x^2-4x+2=0\) másodfokú egyenletet megoldva \(\displaystyle x_{2,3}=\frac{4\pm\sqrt{4^2-8}}{2}=2\pm\sqrt2\). Tehát \(\displaystyle x_2=y_2=2+\sqrt2\) és \(\displaystyle x_3=y_3=2-\sqrt2\).

Ha \(\displaystyle x^2+(y-2)x+(y^2-2y+2)=0\), akkor a másodfokú egyenlet megoldóképletéből

\(\displaystyle x=\frac{-y+2\pm\sqrt{(y-2)^2-4(y^2-2y+2)}}{2}=\frac{-y+2\pm\sqrt{-3y^2+4y-4}}{2}=\)

\(\displaystyle =\frac{-y+2\pm\sqrt{-3(y-(2/3))^2-8/3}}{2}.\)

Mivel itt a gyökjel alatt negatív szám áll, ezért ekkor nincs megoldás.

Statisztika:

34 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bereczki Zoltán, Egyházi Anna, Farkas Dóra, Fehér Balázs, Fényes Balázs, Fülöp Erik, Jójárt Alexandra, Kasó Ferenc, Matusek Márton, Mészáros 01 Viktória, Porupsánszki István, Sándor Gergely, Szűcs Dorina, Telek Máté László, Vida Máté Gergely.
4 pontot kapott:	Bottlik Judit, Erdei Ákos, Lénárt Levente, Pap-Takács Mónika, Révy Gábor, Szauer Marcell, Viharos Loránd Ottó.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2015. márciusi matematika feladatai