A C. 1291. feladat (2015. április)

C. 1291. Az \(\displaystyle x\)-tengely mely pontjából látszik legnagyobb szögben az \(\displaystyle A(2;4)\) és \(\displaystyle B(6;1)\) pontok által meghatározott szakasz?

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. május 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Észrevehető, hogy az \(\displaystyle x\) tengely \(\displaystyle (4;0)\) pontjából derékszögben látszódik a szakasz, a többi pontjából pedig hegyesszögben (például geogebrában egy \(\displaystyle x\) tengelyen futó pontot választva, és a kérdéses szög méretét kiíratva).

Rajzoljuk meg az \(\displaystyle AB\) szakasz Thalesz-körét. Mivel \(\displaystyle |AB|=\sqrt{(6-2)^2+(1-4)^2}=5\), ezért a kör sugara 2,5. A kör \(\displaystyle O\) középpontja az \(\displaystyle AB\) szakasz felezőpontja: \(\displaystyle O(4;2,5)\). Ezért a \(\displaystyle C(4;0)\) pont rajta van a körön.

Az \(\displaystyle AB\) szakasz a \(\displaystyle C\) pontból \(\displaystyle 90^{\circ}\)-ban látszódik. Mivel az \(\displaystyle x\) tengely többi pontja a körön kívül esik, így azokból \(\displaystyle 90^{\circ}\)-nál kisebb szögben látszódik a szakasz.

Tehát legnagyobb szögben a \(\displaystyle C(4;0)\) pontból látszódik az \(\displaystyle AB\) szakasz.

Statisztika:

117 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	86 versenyző.
4 pontot kapott:	6 versenyző.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.

A KöMaL 2015. áprilisi matematika feladatai