A C. 1299. feladat (2015. május)

C. 1299. Oldjuk meg az $\displaystyle x^3+(1-3b)x^2 + \big(3b^2+2b-6\big) x-b^3+b^2-6b+9=0$ egyenletet, ha $\displaystyle x-b\ge 0$.

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Észrevehető egyrészt, hogy a bal oldal ,,végén" $\displaystyle b^2-6b+9=(b-3)^2$, másrészt az is, hogy szerepel $\displaystyle x^3$ és $\displaystyle -b^3$ is az egyenlet bal oldalán. Mivel $\displaystyle (x-b)^3=x^3-3x^2b+3xb^2-b^3$, az is látszik, hogy a bal oldal egyenlő $\displaystyle (x-b)^3+x^2+2b-6+(b-3)^2=(x-b)^3+x^2+2(b-3)+(b-3)^2=(x-b)^3+(x+(b-3))^2$. Mivel $\displaystyle x-b\geq0$ miatt $\displaystyle (x-b)^3\geq0$, és $\displaystyle (x+(b-3))^2\geq0$, ezért összegük csak akkor lehet 0, ha mindkettő 0: $\displaystyle (x-b)^3=0$ és $\displaystyle (x+(b-3))^2=0$, amiből $\displaystyle x-b=0$ és $\displaystyle x+b-3=0$. Ebből $\displaystyle x=b$ és így $\displaystyle 2x=3$, vagyis $\displaystyle x=b=1,5$ következik.

Statisztika:

18 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bereczki Zoltán, Bottlik Judit, Egyházi Anna, Erdei Ákos, Fehér Balázs, Fényes Balázs, Fülöp Erik, Kósa Szilárd, Krisztián Jonatán, Mándoki Sára, Mátyus Adrienn, Mészáros 01 Viktória, Sándor Gergely, Telek Máté László, Török Réka , Vida Máté Gergely.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2015. májusi matematika feladatai