A C. 1309. feladat (2015. október)

C. 1309. Egy tetszőleges háromszög területét jelölje \(\displaystyle t\), köréírt körének sugarát \(\displaystyle R\), beírt körének sugarát pedig \(\displaystyle r\). Igazoljuk, hogy \(\displaystyle \frac{t}{3}<Rr\).

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A bizonyítandó állítás ekvivalens a következő egyenlőtlenséggel: \(\displaystyle \frac tr<3R\). Felhasználva a \(\displaystyle t=rs\) területképletet (ahol \(\displaystyle s\) a félkerületet jelöli), \(\displaystyle \frac{t}{r}=s\). Tehát az \(\displaystyle s<3R\) egyenlőtlenséget kell bizonyítani.

Mivel egy háromszög bármelyik oldala legfeljebb akkora, mint a köréírt kör átmérője, vagyis \(\displaystyle 2R\), ezért \(\displaystyle a+b+c\leq 2R+2R+2R=6R\). Egyenlőség most nem állhat fenn, mert egyszerre csak az egyik oldal lehet \(\displaystyle 2R\) nagyságú, így ebből máris \(\displaystyle s=\frac{a+b+c}{2}<\frac {6R}{2}=3R\) következik.

Statisztika:

134 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Beke-Szabó Csenge, Bereczki Ádám, Berényi Richárd, Braun Dániel, Cseh Noémi, Csuha Boglárka, Czirják Lilla, Demeter Gergő, Édes Lili, Farkas Csanád, Fekete Ákos, Fekete Balázs Attila, Fucskár Patrícia, Garamvölgyi István Attila, Gulácsi Zsombor, Hajdú Zsolt, Kálóczi Kornél, Kamenár Gyöngyvér, Kassai Levente, Kupás Vendel Péter, Mikulás Zsófia, Molnár 410 István, Nagy 999 Benedek, Nagy Enikő, Nagy Marcell, Németh Csilla Márta, Páhoki Tamás, Paulovics Péter, Richlik Róbert, Riedel Zsuzsanna, Sebe Anna, Sipos Fanni Emma, Szalay Gergő, Szécsi Adél Lilla, Szekeres Dániel, Szűcs 865 Eszter, Szűcs Leó, Tisza Marcell, Uzonyi 000 Ákos, Varga-Molnár Bertalan, Vass Máté, Végvári Domonkos Ferenc, Weisz Máté, Zsombó István.
4 pontot kapott:	70 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.

A KöMaL 2015. októberi matematika feladatai