A C. 1322. feladat (2015. december)

C. 1322. Melyik az a legnagyobb hétjegyű szám, amit úgy kapunk, hogy egy számtani sorozat három egymást követő, pozitív egész tagját közvetlenül egymás után írjuk?

Quantum, 1998

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. január 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Egy számtani sorozat három tagját kell hét számjeggyel leírnunk. Négyjegyű szám mellé már nem választható háromjegyű szám. Mivel egy legalább négyjegyű és egy legfeljebb kétjegyű szám különbsége legalább $\displaystyle 901$, így a legnagyobb tag legfeljebb háromjegyű lehet. Próbáljunk meg a szám elejére minél több $\displaystyle 9$-est írni. (A bizonyításban többször kihasználjuk majd, hogy minden tag legfeljebb háromjegyű.)

Nézzük meg, három $\displaystyle 9$-es állhat-e a szám elején. Ha az első szám a $\displaystyle 999$, akkor utána kétjegyű-kétjegyű, vagy háromjegyű-egyjegyű állhat. A sorozat mindkét esetben csökkenő. Az első esetben a különbségek nem egyezhetnek meg (mert az első különbség háromjegyű, a második viszont nem). A második esetet vizsgálva, mivel a középső tag a két szélső számtani közepe, így a hétjegyű szám akkor lesz a legnagyobb, ha az egyjegyű tag, és így a középső is a lehető legnagyobb, vagyis az utolsó tag a $\displaystyle 9$. Ekkor a középső tag $\displaystyle \frac{999+9} 2=504$.

Ha az első szám a $\displaystyle 99$, akkor utána csak kétjegyű-háromjegyű állhatna. Ez utóbbi miatt a sorozat növekvő, ám a második tag ekkor csak 99 lehet, ami ellentmondás.

Ha az első szám a $\displaystyle 9$, akkor utána csak két háromjegyű állhat, melyekből az első $\displaystyle 99$-cel kezdődik. Mivel ekkor az első különbség legalább $\displaystyle 990-9=981$, amivel a harmadik tag már (a legkisebb középső tag, vagyis $\displaystyle 990$ esetén is) négyjegyű lenne, ezért ez az eset nem jöhet létre.

Így a legnagyobb hétjegyű szám, amit így létre lehet hozni a $\displaystyle 9\,995\,049$.

Statisztika:

153 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	66 versenyző.
4 pontot kapott:	29 versenyző.
3 pontot kapott:	15 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	34 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2015. decemberi matematika feladatai