A C. 1331. feladat (2016. január)

C. 1331. Peti a 13 éves születésnapi zsúrjára 13 barátját hívta meg. Mindegyiküktől 13 darab színes tömbgyertyát kapott, melyek 2,5 cm sugarú, 30 cm magasságú, szabályos henger alakúak. Hogy épségben megőrizhesse kincseit, elővesz egy $\displaystyle \rm 50~cm \times 78~cm \times 31~cm$ nagyságú, téglatest alakú dobozt. Be tudja-e rakni Peti a gyertyákat a dobozba úgy, hogy azok ne sérüljenek, és egyik se lógjon ki a dobozból?

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A doboz magassága 31 cm. Helyezzük el a gyertyákat ,,állva" úgy, hogy az első sorban álló gyertyák érintkezzenek egymással és a doboz falával, a következő sorban állók pedig érintkezzenek két, előző sorban álló gyertyával (1. ábra, felülnézet).

1. ábra

Ekkor az első sorba álló gyertyák szimmetriatengelyei $\displaystyle r$, a következő sorban állóké pedig $\displaystyle r+m$ távolságra lesznek a doboz ,,felső" falától.

A szabályos háromszög magassága: $\displaystyle m=2r\cdot\frac{\sqrt 3} 2=2,5\sqrt 3\,{\approx}\,4,33$.

Így $\displaystyle n$ sor helyigénye:

$\displaystyle h=2r+\left(n-1\right)\cdot m=5+\left(n-1\right)\cdot2,5\sqrt 3\,{\approx}\,5+\left(n-1\right)\cdot4,33.$

Osszuk fel a dobozt két $\displaystyle 50 \times 30 \times 31$ cm-es és egy $\displaystyle 50 \times 18 \times 31$ cm-es részre (2. ábra).

2. ábra

Az első két $\displaystyle 50 \times 30 \times 31$ cm-es részben helyezzük a gyertyákat ,,fekve", tengelyükkel az $\displaystyle 50 \times 31$ cm-es oldallapra merőlegesen egymás mellé az 1. ábrának megfelelően.

Az alsó sorban 10 db, a felett lévőben 9 db gyertya fér el és így tovább: a páratlan sorszámú sorokban 10, a párosokban 9.

Ekkor $\displaystyle h=31\mathrm{~cm}\geq5+\left(n-1\right)\cdot2,5\sqrt 3$, amiből $\displaystyle n=7$.

Így $\displaystyle 4\cdot 10+3\cdot 9=67$ db gyertyát tudunk elhelyezni az első és a második részben is.

A harmadik, $\displaystyle 50 \times 18 \times 31$ cm-es részben helyezzük a gyertyákat állva, tengelyükkel az $\displaystyle 50 \times 18$ cm-es oldallapra merőlegesen egymás mellé az 1. ábrának megfelelően.

Ekkor $\displaystyle h=18\mathrm{~cm}=5+\left(n-1\right)\cdot2,5\sqrt 3$, amiből $\displaystyle n=4$.

Így $\displaystyle 2\cdot 10+2\cdot 9=38$ db gyertyát tudunk elhelyezni a harmadik részben.

Összesen: $\displaystyle 2\cdot 67+38=172$ db gyertyát lehet elhelyezni, tehát ilyen módon a $\displaystyle 169$ db gyertya elhelyezhető a dobozban. (Ha minden gyertyát állva helyeztünk volna el, akkor hasonló gondolatmenettel csak $\displaystyle 9\cdot10+8\cdot9=162$ gyertyát tudnánk elhelyezni.)

Statisztika:

146 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	53 versenyző.
4 pontot kapott:	3 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	46 versenyző.
0 pontot kapott:	38 versenyző.

A KöMaL 2016. januári matematika feladatai