A C. 1334. feladat (2016. január)

C. 1334. Bizonyítsuk be, hogy ha az $\displaystyle ABCD$ húrnégyszög trapéz (ahol $\displaystyle AB\parallel CD$) vagy az $\displaystyle AB$ oldala a köréírt kör átmérője, akkor teljesülnek a

$\displaystyle BD\cdot x+AD\cdot \sqrt{1-x^2} = AC;$

$\displaystyle AC\cdot x+BC\cdot \sqrt{1-x^2} = BD$

egyenletek valamely $\displaystyle 0<x<1$ esetén.

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás 1. eset: Ha az $\displaystyle {ABCD}$ húrnégyszög trapéz (1. ábra).

1. ábra

Ekkor a szimmetria miatt $\displaystyle {AD}={BC}$ és $\displaystyle {AC}={BD}$.

Így a két egyenlet megegyezik:

$\displaystyle {AC}\cdot x+{BC}\cdot \sqrt{1-x^2}={AC}.$

Rendezve:

$\displaystyle {BC}\cdot \sqrt{\left(1-x\right)(1+x)}={AC}(1-x).$

Egyszerűsítve $\displaystyle \sqrt{1-x}{\neq}0$-val:

$\displaystyle {BC}\cdot \sqrt{(1+x)}={AC}\sqrt{1-x}.$

Mindkét oldalt négyzetre emelve:

$\displaystyle {BC}^2\cdot (1+x)={AC}^2\cdot (1-x).$

A zárójeleket felbontva és $\displaystyle x$-t kifejezve:

$\displaystyle \left({AC}^2+{BC}^2\right)\cdot x={AC}^2-{BC}^2,$

$\displaystyle x=\frac{{AC}^2-{BC}^2}{{AC}^2+{BC}^2}.$

Mivel $\displaystyle \beta >\alpha$, és ugyanazon körben nagyobb kerületi szöghöz nagyobb húr tartozik, ezért $\displaystyle {AC}>{BC}$, valamint $\displaystyle {AC}^2+{BC}^2>{AC}^2-{BC}^2$, tehát biztosan létezik $\displaystyle x$, amire $\displaystyle 0<x<1$.

2. eset: Ha az $\displaystyle {ABCD}$ húrnégyszög $\displaystyle {AB}$ oldala a köré írt kör átmérője (2. ábra).

2. ábra

Legyen $\displaystyle x={\sin\delta }$, ahol $\displaystyle 0<\delta <\frac{\pi } 2$, ekkor $\displaystyle \sqrt{1-x^2}=\cos \delta$.

Az egyenletrendszer az új változókkal:

$\displaystyle {BD}\cdot {\sin\delta }+{AD}\cdot {\cos\delta }={AC},$

$\displaystyle {AC}\cdot {\sin\delta }+{BC}\cdot {\cos\delta }={BD}.$

Osszuk le mindkét egyenletet $\displaystyle {AB}=d$-vel:

$\displaystyle \frac{{BD}} d\cdot {\sin\delta }+\frac{{AD}} d\cdot {\cos\delta }=\frac{{AC}} d,$

$\displaystyle \frac{{AC}} d\cdot {\sin\delta }+\frac{{BC}} d\cdot {\cos\delta }=\frac{{BD}} d.$

$\displaystyle \frac{{BD}} d={\cos\beta }$, $\displaystyle \frac{{AD}} d={\sin\beta }$, $\displaystyle \frac{{AC}} d={\sin\gamma }$, $\displaystyle \frac{{BC}} d={\cos\gamma }$.

Így az egyenletek:

$\displaystyle {\cos\beta }\cdot {\sin\delta }+{\sin\beta }\cdot {\cos\delta }={\sin\gamma },$

$\displaystyle {\sin\gamma }\cdot {\sin\delta }+{\cos\gamma }\cdot {\cos\delta }={\cos\beta }.$

Az addíciós tételeket alkalmazva:

$\displaystyle \sin \left(\beta +\delta \right)={\sin\gamma },$

$\displaystyle \cos \left(\gamma -\delta \right)={\cos\beta }.$

Mindkét egyenlet teljesül, ha $\displaystyle \delta =\gamma -\beta$.

Így $\displaystyle \delta$ hegyesszög, tehát létezik $\displaystyle x={\sin\delta }$, ahol $\displaystyle 0<x<1$.

Statisztika:

25 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Csorba Benjámin, Gera Dóra, Horváth András János, Kocsis Júlia, Komoróczy Ádám, Kormányos Hanna Rebeka, Kósa Szilárd, Matusek Márton, Mészáros 01 Viktória, Nagy 911 Viktória, Szajkó Gréta, Tatai Mihály, Tóth Adrián.
4 pontot kapott:	Csapó Márton, Kasó Ferenc, Sudár Ákos, Szücs Patrícia, Tar Viktor.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2016. januári matematika feladatai