A C. 1337. feladat (2016. február)

C. 1337. Csongor felesége, Gyopár egy 77 gyönggyel díszített bőrtokot varrt ura születésnapjára. A sikeren felbuzdulva Csongor hagyományőrző dorombegyüttesének minden tagját meglepte egy ugyanilyen tokkal. A tokokat a tagoknak a táltosünnep 50 személyes központi jurtájában adta át nyilvánosan. A kínai boltban százas csomagokban vásárolt gyöngyökből 7 megmaradt, melyekkel Gyopár a hétköznapi pártáját ékesítette. Hányan dorombolnak Csongor zenekarában?

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a zenekar tagjainak száma $\displaystyle n$, és a vásárolt gyöngy csomagok száma $\displaystyle k$ (ahol $\displaystyle n$ és $\displaystyle k$ pozitív egészek).

Mivel a jurta 50 személyes és Gyopár is ott volt, így $\displaystyle n<50$.

Tudjuk, hogy minden tag bőrtokjára 77 gyöngyöt varrt és a 100 db gyöngyöt tartalmazó csomagokból végül 7 gyöngy maradt meg, így

$\displaystyle 77n+7=100k$, vagyis

$\displaystyle 7\cdot(11n+1)=100\cdot k$.

Mivel 7 prím és $\displaystyle (7,100)=1$, ezért egyrészt $\displaystyle 7∣k$; másrészt $\displaystyle 100∣(11n+1)$, vagyis a $\displaystyle 11n$ számnak 99-re kell végződnie. A legkisebb $\displaystyle n$, amire ez igaz, a 9. Nézzük meg, lehet-e $\displaystyle n$ legalább kétjegyű szám.

Ekkor is 9-re kell végződnie, mert $\displaystyle 11n$ utolsó jegye csak ekkor lesz 9-es. Legyen $\displaystyle n=10\cdot m+9$, ekkor $\displaystyle 11n=110\cdot m+99$. Ez csak akkor végződhet 99-re, ha $\displaystyle 110\cdot m$ két nullára végződik, vagyis $\displaystyle 10∣m$. De már $\displaystyle m=10$ esetén is $\displaystyle n=109>50$.

Így a megoldás $\displaystyle n=9$. Ekkor $\displaystyle 77\cdot9+7=700=100k$, vagyis $\displaystyle k=7$. Tehát 9 tagú Csongor doromb zenekara és 7 csomag gyöngyöt vásárolt Gyopár.

Statisztika:

135 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	109 versenyző.
4 pontot kapott:	25 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2016. februári matematika feladatai