 |
A C. 1337. feladat (2016. február) |
C. 1337. Csongor felesége, Gyopár egy 77 gyönggyel díszített bőrtokot varrt ura születésnapjára. A sikeren felbuzdulva Csongor hagyományőrző dorombegyüttesének minden tagját meglepte egy ugyanilyen tokkal. A tokokat a tagoknak a táltosünnep 50 személyes központi jurtájában adta át nyilvánosan. A kínai boltban százas csomagokban vásárolt gyöngyökből 7 megmaradt, melyekkel Gyopár a hétköznapi pártáját ékesítette. Hányan dorombolnak Csongor zenekarában?
(5 pont)
A beküldési határidő 2016. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen a zenekar tagjainak száma \(\displaystyle n\), és a vásárolt gyöngy csomagok száma \(\displaystyle k\) (ahol \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle k\) pozitív egészek).
Mivel a jurta 50 személyes és Gyopár is ott volt, így \(\displaystyle n<50\).
Tudjuk, hogy minden tag bőrtokjára 77 gyöngyöt varrt és a 100 db gyöngyöt tartalmazó csomagokból végül 7 gyöngy maradt meg, így
\(\displaystyle 77n+7=100k\), vagyis
\(\displaystyle 7\cdot(11n+1)=100\cdot k\).
Mivel 7 prím és \(\displaystyle (7,100)=1\), ezért egyrészt \(\displaystyle 7∣k\); másrészt \(\displaystyle 100∣(11n+1)\), vagyis a \(\displaystyle 11n\) számnak 99-re kell végződnie. A legkisebb \(\displaystyle n\), amire ez igaz, a 9. Nézzük meg, lehet-e \(\displaystyle n\) legalább kétjegyű szám.
Ekkor is 9-re kell végződnie, mert \(\displaystyle 11n\) utolsó jegye csak ekkor lesz 9-es. Legyen \(\displaystyle n=10\cdot m+9\), ekkor \(\displaystyle 11n=110\cdot m+99\). Ez csak akkor végződhet 99-re, ha \(\displaystyle 110\cdot m\) két nullára végződik, vagyis \(\displaystyle 10∣m\). De már \(\displaystyle m=10\) esetén is \(\displaystyle n=109>50\).
Így a megoldás \(\displaystyle n=9\). Ekkor \(\displaystyle 77\cdot9+7=700=100k\), vagyis \(\displaystyle k=7\). Tehát 9 tagú Csongor doromb zenekara és 7 csomag gyöngyöt vásárolt Gyopár.
Statisztika:
135 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 109 versenyző. 4 pontot kapott: 25 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2016. februári matematika feladatai