A C. 1338. feladat (2016. február)

C. 1338. Legyen az $\displaystyle ABC$ egyenlőszárú háromszög $\displaystyle AB$ alapján a $\displaystyle D$, illetve $\displaystyle BC$ szárán az $\displaystyle E$ pont olyan, hogy az $\displaystyle ACD$, a $\displaystyle CDE$ és a $\displaystyle BDE$ háromszögek mind egyenlőszárúak, továbbá a $\displaystyle BDE$ háromszög hasonló az $\displaystyle ABC$ háromszöghöz. Mekkorák az egyes háromszögek szögei?

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha nem szűkítenénk le az eseteket, akkor a három kis háromszög mindegyikének mindhárom oldala lehetne az alapja, ami elvileg $\displaystyle 3\cdot3=27$ eset.

Így biztosan érdemes valahogy leszűkíteni az esetek számát. Például, a $\displaystyle DEB$ és a $\displaystyle DEC$ szög egyike biztosan nem hegyesszög, mert akkor nem adnának ki együtt egy egyenesszöget. Ami nem hegyesszög, az pedig nem lehet alapon fekvő szög. Vagyis a két szögből legalább az egyik szárszög.

Az is könnyen látható, hogy az $\displaystyle AD$ nem lehet alap, hiszen ekkor $\displaystyle ADC∡=DAC∡=ABC∡$ lenne, vagyis $\displaystyle CD||CB$ teljesülne, ami nem lehetséges.

A $\displaystyle CAB∡=CBA∡$-et minden esetben $\displaystyle α$ jelöli.

I.a. eset. Az $\displaystyle ACD$ háromszögnek az $\displaystyle AC$ oldal, a $\displaystyle DBE$ háromszögnek a $\displaystyle DB$ oldal, a $\displaystyle CDE$ háromszögnek a $\displaystyle CD$ oldal az alapja.

Ekkor a $\displaystyle CDB∡$ a $\displaystyle CAD$ háromszög külső szöge, és így $\displaystyle α+β=CDB∡=DAC∡+DCA∡=α+α$, amiből $\displaystyle α=β$. Ekkor pedig az $\displaystyle ABC$ háromszög szögeinek összegéből $\displaystyle 4α=180˚$, vagyis $\displaystyle α=45˚$ és a négy szárszög mindegyike derékszög.

I.b. eset. Az $\displaystyle ACD$ háromszögnek az $\displaystyle AC$ oldal, a $\displaystyle DBE$ háromszögnek a $\displaystyle DB$ oldal, a $\displaystyle CDE$ háromszögnek a $\displaystyle DE$ oldal az alapja. Legyen $\displaystyle CDE∡=CED∡=β$. Az előző esethez hasonlóan itt is $\displaystyle α=β$ következik. A $\displaystyle DCE∡$ nagysága a $\displaystyle DEC$ háromszögből $\displaystyle 180˚-2α$, a $\displaystyle CDB$ háromszögből pedig $\displaystyle 180˚-3α$, ami ellentmondás. Ez az eset nem jön létre.

I.c. eset. Az $\displaystyle ACD$ háromszögnek az $\displaystyle AC$ oldal, a $\displaystyle DBE$ háromszögnek a $\displaystyle DB$ oldal, a $\displaystyle CDE$ háromszögnek a $\displaystyle CE$ oldal az alapja.

Ekkor $\displaystyle α=CAB∡=CBA∡=DCA∡=EDB∡$. A $\displaystyle CED∡$ az $\displaystyle EDB$ háromszög külső szöge: $\displaystyle β=CED∡=2α$. Az $\displaystyle ABC$ háromszög $\displaystyle C$ csúcsánál lévő szög nagysága így $\displaystyle 3α$, a háromszög szögeinek összege pedig $\displaystyle 180˚=5α$, amiből $\displaystyle α=36˚$, és így $\displaystyle β=72˚$, $\displaystyle γ=DEB∡=ADC∡=ACB∡=180˚-2α=108˚$, és $\displaystyle CDE∡=180˚-2β=36˚$.

II. eset. Az $\displaystyle ACD$ háromszögnek az $\displaystyle AC$ oldal, a $\displaystyle DBE$ háromszögnek az $\displaystyle EB$ oldal az alapja. Ekkor a $\displaystyle DEC∡$ csak szárszög lehet, vagyis a $\displaystyle CDE$ háromszögnek a $\displaystyle CD$ oldal az alapja.

A $\displaystyle DEB∡$ a $\displaystyle DEC$ háromszög külső szöge, így $\displaystyle α=2γ$, vagyis $\displaystyle γ=0,5α$. Az $\displaystyle ABC$ háromszög szögeinek összege $\displaystyle 3,5α=180˚$, amiből $\displaystyle α=360˚/7=2·180˚/7$, és így $\displaystyle β=180˚-2α=3·180˚/7$. Mivel $\displaystyle EDB∡=ACB∡$ a hasonlóság miatt, így $\displaystyle ACB∡=β=α+γ$, amiből $\displaystyle γ=3·180˚/7-2·180˚/7=180˚/7$. Végül $\displaystyle δ=180˚-2γ= 5·180˚/7$. III. eset. Az $\displaystyle ACD$ háromszögnek az $\displaystyle CD$ oldal, a $\displaystyle DBE$ háromszögnek a $\displaystyle DB$ oldal az alapja. Az $\displaystyle ACD$ háromszögben $\displaystyle α+2β=180˚$. Ezt felhasználva az ABC háromszögben $\displaystyle DCB∡=180˚-2α-β=α+2β-2α-β=β-α$. A $\displaystyle DEB$ és $\displaystyle ACB$ háromszögek hasonlóságából $\displaystyle DEB∡=ACB∡=β+β-α=2β-α$. Végül az $\displaystyle ACD∡$ és a $\displaystyle CDE∡$ váltószögek (mert $\displaystyle DE||AC$), és így $\displaystyle CDE∡=β$.

III.a. eset. A $\displaystyle CDE$ háromszögben $\displaystyle CE$ az alap. Ekkor $\displaystyle β-α=2α$, amiből $\displaystyle β=3α$. Az $\displaystyle ACD$ háromszög szögeinek összege: $\displaystyle 180˚=7α$, vagyis $\displaystyle α=180˚/7$. Ekkor $\displaystyle β=3·180˚/7$, $\displaystyle δ=DEB∡=ACB∡=180˚-2α=5·180˚/7$, végül $\displaystyle γ=CED∡=ECD∡=2·180˚/7$.

III.b. eset. A $\displaystyle CDE$ háromszögben $\displaystyle CD$ az alap. Ez nyilván nem lehetséges, mert $\displaystyle β>β-α$.

III.c. eset. A $\displaystyle CDE$ háromszögben $\displaystyle DE$ az alap. Ekkor $\displaystyle β=2α$, és így az $\displaystyle ADC$ háromszög szögeinek összege: $\displaystyle 180˚=5α$, amiből $\displaystyle α=36$°, $\displaystyle β=2α=72°$, $\displaystyle γ=180˚-4α=α=36˚$ és $\displaystyle ε=DEB∡=ACB∡=180˚-2α=108˚$.

IV. eset. Az $\displaystyle ACD$ háromszögnek az $\displaystyle CD$ oldal, a $\displaystyle DBE$ háromszögnek a $\displaystyle BE$ oldal az alapja: $\displaystyle DEB∡=α és ACD∡=ADC∡=β$. A $\displaystyle CDE$ háromszögben ekkor az $\displaystyle E$ csúcsnál van a szárszög. Ugyanitt $\displaystyle DEB∡$ külső szög, amiből $\displaystyle α=2γ$, és így $\displaystyle γ=0,5α$. Az $\displaystyle ADC$ háromszög szögeinek összege $\displaystyle 180˚=α+2β$. Az $\displaystyle ABC$ háromszög szögeinek összege $\displaystyle 180˚=2α+β+0,5α$. Ebből $\displaystyle α+2β=2α+β+0,5α$, és így $\displaystyle β=1,5α$. Ismét az $\displaystyle ADC$ háromszöget használva: $\displaystyle 180˚=α+2·1,5α=4α$, amiből $\displaystyle α=45˚$. A többi szög: $\displaystyle β=67,5˚$, $\displaystyle γ=22,5˚$, $\displaystyle δ=135˚$ és $\displaystyle EDB∡=90˚$.

Statisztika:

126 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Csorba Benjámin, Geretovszky Anna, Horváth András János, Kormányos Hanna Rebeka, Mályusz Attila, Marozsák Tóbiás , Márton Anna, Mészáros 01 Viktória, Mikulás Zsófia, Molnár 410 István, Páhoki Tamás, Sebe Anna, Szécsi Adél Lilla, Szilágyi Éva, Tóth 111 Máté , Varga 157 Kristóf, Weisz Máté, Weisz Viktória, Zsombó István.
4 pontot kapott:	Bukor Benedek, Czirják Lilla, Erdélyi Zsófia , Fajszi Bulcsú, Fekete Balázs Attila, Fraknói Ádám, Garamvölgyi István Attila, Kamenár Gyöngyvér, Kasó Ferenc, Kocsis Júlia, Kósa Szilárd, Mohácsi Márton, Nagy 911 Viktória, Nagy Nándor, Nagymihály Panka, Riedel Zsuzsanna, Sal Dávid, Sudár Ákos, Szabó Alexandra.
3 pontot kapott:	29 versenyző.
2 pontot kapott:	50 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.

A KöMaL 2016. februári matematika feladatai