A C. 1341. feladat (2016. február)

C. 1341. A 2016! legfeljebb hányadik 2-hatvánnyal osztható?

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. március 10-én LEJÁRT.

I. megoldás. Minden páros számban ott van egy 2-es prímtényező, az 1008 darab. Minden 4-gyel osztható számban egy újabb, az 504 darab. Minden 8-cal osztható számban egy újabb, az 252 darab. Hasonlóan folytatva 2 növekvő hatványaival: 16-ból 126, 32-ből 63, 64-ből 31, 128-ból 15, 256-ból 7, 512-ből 3, 1024-ből 1 van. Összegezve: \(\displaystyle 1008+504+252+126+63+31+15+7+3+1=2010\) db 2-es prímtényezőt találtunk.

Tehát 2016! legfeljebb a 2-nek a 2010. hatványával osztható.

II. megoldás. Ez a feladat könnyebb lesz 2048-ban, mert akkor egy mértani sorozatot kell összegeznünk, hiszen a 2048!-ban 1024 db 2-vel osztható szám, 512 db 4-gyel osztható szám,…, 1 db 2048-cal osztható szám van. Növekvő sorrendben:

\(\displaystyle a_1=1=2^0\)-tól \(\displaystyle a_{11}=1024=2^{10}\)-ig kell összegeznünk és \(\displaystyle q=2\).

\(\displaystyle S_{11}=a_1\frac{q^{11}-1}{q-1}=1\cdot\frac{2^{11}-1}{2-1}=2^{11}-1=2047\).

Ha most megszámoljuk, hány 2-es prímtényező van a 2017-től 2048-ig álló 32 szám szorzatában és ezt levonjuk 2047-ből, megkapjuk a kívánt eredményt. Mivel \(\displaystyle 2048=2^{11}\), így tőle visszafelé haladva 2017-ig nincs 32-vel vagy nagyobb 2 hatvánnyal osztható szám rajta kívül. Van 2-vel osztható 16 db, 4-gyel osztható 8 db, 8-cal osztható 4 db, 16-tal osztható 2 db és 32-vel osztható 1, maga a 2048. Eddig összesen: \(\displaystyle 1+2+…+16=S_6=1\cdot\frac{2^5-1}{2-1}=2^5-1=31\).

Így azonban 2048-nál csak 5 db 2-es prímtényezőt számoltunk, viszont 11 van, tehát 6-tal növelni kell az összeget, vagyis \(\displaystyle 31+6=37\)-et kell levonnunk: \(\displaystyle 2047-37=2010\).

Statisztika:

52 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Antal Márton, Balázs Ákos Miklós, Balog Zsolt, Barczikai Noémi, Csapó Márton, Csider Márk, Csorba Benjámin, Dankowsky Anna Zóra, Erdélyi Janka, Fejér Borbála, Fischer Kornél, Fülöp Ágota, Gera Dóra, Horeftos Leon, Horváth András János, Horváth Tibor 1998, Inges Zénó, Kasó Ferenc, Kiss Vivien Mercédesz, Kocsis Júlia, Komoróczy Ádám, Kormányos Hanna Rebeka, Kósa Szilárd, Lévay Mátyás, Matusek Márton, Mészáros 01 Viktória, Nagy 911 Viktória, Németh 729 Gábor, Ondrik Ákos, Pécz Bálint, Perecz Gergely Tardos, Perger Kitti, Simon Ákos, Sudár Ákos, Szabó Alexandra, Szalay Dorottya, Szauer Marcell, Szécsényi Júlia, Szécsényi Tamás, Székely Dalma, Tar Viktor, Tatai Mihály, Török Réka , Ványi Virág.
4 pontot kapott:	Bőzsöny András, Horváth 999 Viktória.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2016. februári matematika feladatai