 |
A C. 1346. feladat (2016. március) |
C. 1346. Egységnyi oldalú négyzet egyik csúcsából induló két szakasszal a négyzetet három egyenlő területű részre osztjuk: két háromszögre és egy általuk közrefogott deltoidra. Ugyanezt tesszük a szomszédos csúcsból kiindulva is. Mekkora a két deltoid közös részének területe?
(5 pont)
A beküldési határidő 2016. április 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Az ábra jelöléseit használva, az \(\displaystyle ABE\) és \(\displaystyle DAM\) derékszögű háromszögek területe csak akkor lesz a négyzet területének a harmada, ha \(\displaystyle AE=DM=\frac23\). Ezért ezek a háromszögek egybevágóak, szögeik megegyeznek. A \(\displaystyle HG\) egyenes szimmetriatengely, így merőleges a négyzet \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) oldalaira.
Ezekből következik, hogy az ábrán azonos betűkkel jelölt szögek megegyeznek.
A szögek egyenlőségéből következik, hogy az \(\displaystyle EAB\triangle\), a \(\displaystyle HFB\triangle\), az \(\displaystyle MNG\triangle\) és a \(\displaystyle HKG\triangle\) hasonlóak.
A hasonlóságból következik, hogy \(\displaystyle \frac{HF}{EA}=\frac{FB}{AB}=\frac12\), amiből \(\displaystyle HF=\frac13\).
\(\displaystyle MN=MD-ND=\frac23-\frac12=\frac16.\)
\(\displaystyle \frac{NG}{MN}=\frac{AB}{EA}=\frac32\), amiből \(\displaystyle NG=\frac32\cdot MN=\frac32\cdot \frac16=\frac14\).
\(\displaystyle GH=FN-FH-GN=1-\frac13-\frac14=\frac{5}{12}\).
Az \(\displaystyle ABE\) derékszögű háromszögben: \(\displaystyle BE=\sqrt{\left(\frac23\right)^2+1^2}=\sqrt{\frac{13}{9}}=\frac{\sqrt{13}}{3}\).
A \(\displaystyle HKG\triangle\) és az \(\displaystyle EAB\triangle\) hasonlóságának aránya: \(\displaystyle \lambda=\frac{GH}{BE}=\frac{5}{12}\cdot\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{5}{4\sqrt{13}}\).
\(\displaystyle T_{HKG\triangle}=\lambda^2\cdot T_{EAB\triangle}=\frac{25}{16\cdot13}\cdot\frac13=\frac{25}{624}.\)
A feladat szerinti két deltoid közös része a \(\displaystyle HKGL\) négyszög, maga is deltoid, két egybevágó háromszögből áll, így \(\displaystyle T_{HLG\triangle}=T_{HKG\triangle}\).
Tehát a keresett terület nagysága: \(\displaystyle T_{HKGL}=2T_{HKG\triangle}=\frac{25}{312}\).
Statisztika:
111 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bukor Benedek, Cseh Noémi, Csorba Benjámin, Fajszi Bulcsú, Fekete Balázs Attila, Fraknói Ádám, Geretovszky Anna, Heller-Szabó Anna, Kiss Vivien Mercédesz, Kormányos Hanna Rebeka, Marozsák Tóbiás , Márton Anna, Molnár 410 István, Nagy Viktor, Németh Csilla Márta, Páhoki Tamás, Paulovics Péter, Póta Balázs, Pszota Máté, Sudár Ákos, Szauer Marcell, Szécsényi Júlia, Szonda Katalin, Tatai Mihály, Török 111 Emese, Varga 157 Kristóf, Weisz Máté, Zsombó István. 4 pontot kapott: 33 versenyző. 3 pontot kapott: 20 versenyző. 2 pontot kapott: 6 versenyző. 1 pontot kapott: 4 versenyző. 0 pontot kapott: 20 versenyző.
A KöMaL 2016. márciusi matematika feladatai