A C. 1349. feladat (2016. március)

C. 1349. Karcsi és barátai gyakran játszanak kockapókert. Karcsi, a nagy kópé, az öt kocka közül az egyiken a 3-as és az 5-ös középső pöttyét lefestette a kocka alapszínével. Így ezen a kockán egy 1-es, két 2-es, két 4-es és egy 6-os látható. Mindez olyan jól sikerült, hogy a következő alkalommal senki sem vette észre a turpisságot.

Mekkora annak a valószínűsége, hogy ha most ezzel az öt kockával dobnak egyszerre, akkor a dobott számok között lesz legalább négy egyforma?

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. április 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Négy szabályos kockánk van és egy olyan, amin nincs 3-as és 5-ös, hanem két 2-es és két 4-es. Annak a valószínűségét keressük, hogy lesz négy vagy öt egyforma dobott szám.

Nézzük először az öt egyforma szám dobásának eseteit. 1-es és 6-os számokból 1-1 eset lesz. 2-es és 4-es számokból 2-2 eset, hiszen a hamis kockán mindkét szám két esetben jöhet ki. 3-as és 5-ös számból nem tudunk 5 egyformát dobni. Tehát eddig 6 eset van.

Nézzük ezután a 4 egyforma szám dobásának eseteit.

3-as és 5-ös számokból csak a szabályos kockákkal tudunk négyet dobni, míg a hamis kocka 6-féle lehetőséget ad, függetlenül attól, hogy kétféle, eredeti és javított 2-es és 4-es jel van rajta, hiszen nincs rajta sem 1, sem 6. Ez 12 eset.

1-es és 6-os számokból 4 egyforma szám bármelyik kockán kijöhet. 5 közül 4-et kell kiválasztanunk, ez 5 lehetőség és mindegyikhez 5 állás tartozik az 5. kockán, mert az 1-est vagy a 6-ost ki kell zárnunk. Ez kétszer 25, vagyis 50 eset.

2-es és 4-es számokból, ha a négy szabályos kockával dobjuk a négy egyforma számot, akkor a hamis kockán két esetet kell kizárnunk a hatból, hogy ne legyen 5 egyforma szám. Ez kétszer 4 eset, vagyis újabb 8 eset.

2-es és 4-es számokból, ha a hamis kocka is szerepel a négy egyforma között, akkor azon 2 esetben jöhet ki az adott szám, a másik hármat a 4 szabályos kockából választjuk, az 4 lehetőséget ad, és a kimaradt szabályos kockán 5 féle szám állhat. Tehát ezeknél \(\displaystyle 2\cdot4\cdot5=40\) eset van. Ez kétszer 40, vagyis 80 esetet jelent.

Az kedvező esetek száma: \(\displaystyle 6+12+50+8+80=156\).

Az összes eset: \(\displaystyle 6^5=7776\).

A keresett valószínűség: \(\displaystyle p=156/7776\approx0,02\).

Statisztika:

30 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Csapó Márton, Csorba Benjámin, Fülöp Ágota, Horváth András János, Kasó Ferenc, Kiss Vivien Mercédesz, Kormányos Hanna Rebeka, Kósa Szilárd, Lévay Mátyás, Matusek Márton, Nagy 911 Viktória, Sudár Ákos, Szabó Alexandra, Szajkó Gréta, Szauer Marcell, Török Réka .
4 pontot kapott:	Dankowsky Anna Zóra, Kocsis Júlia.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.

A KöMaL 2016. márciusi matematika feladatai