A C. 1350. feladat (2016. április)

C. 1350. Definiáljuk az \(\displaystyle (a_n)\) sorozatot a következőképpen: \(\displaystyle a_1=1\), és \(\displaystyle n>0\)-ra \(\displaystyle a_{n+1}=a_n+4n\). Igazoljuk, hogy az \(\displaystyle (a_n)\) sorozat összes tagja előáll két szomszédos négyzetszám összegeként.

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás: Az állítást teljes indukcióval bizonyítjuk. Az első négy tagra igaz:

\(\displaystyle a_1=1=1^2+0^2,\)

\(\displaystyle a_2=a_1+4\cdot1=5=2^2+1^2,\)

\(\displaystyle a_3=a_2+4\cdot2=13=3^2+2^2,\)

\(\displaystyle a_4=a_3+4\cdot3=25=4^2+3^2.\)

Tegyük fel, hogy a \(\displaystyle k\)-adik tagra is teljesül, hogy \(\displaystyle a_k=k^2+(k-1)^2\).

Állítsuk elő a \(\displaystyle (k+1)\)-dik tagot:

\(\displaystyle a_{k+1}=a_k+4k=k^2+(k-1)^2+4k=k^2+k^2-2k+1+4k=\)

\(\displaystyle =k^2+k^2+2k+1=(k+1)^2+k^2.\)

Vagyis az állítás „öröklődik”, így a sorozat minden tagjára igaz.

Statisztika:

92 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	66 versenyző.
4 pontot kapott:	11 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2016. áprilisi matematika feladatai