A C. 1353. feladat (2016. április)

C. 1353. Határozzuk meg az $\displaystyle x^2-xy+y^2=7$ egyenlet egész megoldásait.

Javasolta: Kovács Béla, Szatmárnémeti

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás: Szorozzunk be mindkét oldalt 4-gyel és alakítsunk ki teljes négyzetet:

$\displaystyle x^2-4xy+4y^2=28,$

$\displaystyle (2x-y)^2+3y^2=28.$

A 28 lehetséges felbontásai egy négyzetszám és egy másik négyzetszám háromszorosának összegére:

$\displaystyle 28=25+3\cdot1=16+3\cdot4=1+3\cdot9.$

Ebből megadhatók a lehetséges $\displaystyle (x,y)$ számpárok:

$\displaystyle y=1$ esetén: $\displaystyle (3,1)$, $\displaystyle (-2,1)$,$\displaystyle \,$ $\displaystyle y=-1$ esetén: $\displaystyle (2,-1)$, $\displaystyle (-3,-1$);

$\displaystyle y=2$ esetén: $\displaystyle (3,2)$, $\displaystyle (-1,2)$,$\displaystyle \,$ $\displaystyle y=-2$ esetén: $\displaystyle (1,-2)$, $\displaystyle (-3,-2)$;

$\displaystyle y=3$ esetén: $\displaystyle (2,3)$, $\displaystyle (1,3)$,$\displaystyle \,$ $\displaystyle y=-3$ esetén: $\displaystyle (-1,-3)$, $\displaystyle (-2,-3)$.

Statisztika:

141 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	75 versenyző.
4 pontot kapott:	20 versenyző.
3 pontot kapott:	14 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	14 versenyző.
0 pontot kapott:	13 versenyző.

A KöMaL 2016. áprilisi matematika feladatai