 |
A C. 1353. feladat (2016. április) |
C. 1353. Határozzuk meg az \(\displaystyle x^2-xy+y^2=7\) egyenlet egész megoldásait.
Javasolta: Kovács Béla, Szatmárnémeti
(5 pont)
A beküldési határidő 2016. május 10-én LEJÁRT.
Megoldás: Szorozzunk be mindkét oldalt 4-gyel és alakítsunk ki teljes négyzetet:
\(\displaystyle x^2-4xy+4y^2=28,\)
\(\displaystyle (2x-y)^2+3y^2=28.\)
A 28 lehetséges felbontásai egy négyzetszám és egy másik négyzetszám háromszorosának összegére:
\(\displaystyle 28=25+3\cdot1=16+3\cdot4=1+3\cdot9.\)
|
Ebből megadhatók a lehetséges \(\displaystyle (x,y)\) számpárok:
\(\displaystyle y=1\) esetén: \(\displaystyle (3,1)\), \(\displaystyle (-2,1)\),\(\displaystyle \,\) \(\displaystyle y=-1\) esetén: \(\displaystyle (2,-1)\), \(\displaystyle (-3,-1\));
\(\displaystyle y=2\) esetén: \(\displaystyle (3,2)\), \(\displaystyle (-1,2)\),\(\displaystyle \,\) \(\displaystyle y=-2\) esetén: \(\displaystyle (1,-2)\), \(\displaystyle (-3,-2)\);
\(\displaystyle y=3\) esetén: \(\displaystyle (2,3)\), \(\displaystyle (1,3)\),\(\displaystyle \,\) \(\displaystyle y=-3\) esetén: \(\displaystyle (-1,-3)\), \(\displaystyle (-2,-3)\).
Statisztika:
141 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 75 versenyző. 4 pontot kapott: 20 versenyző. 3 pontot kapott: 14 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 14 versenyző. 0 pontot kapott: 13 versenyző.
A KöMaL 2016. áprilisi matematika feladatai