A C. 1359. feladat (2016. május)

C. 1359. Az \(\displaystyle n\) pozitív egész számtól függően hány megoldása van az

\(\displaystyle x^2-y^2=10^n \)

egyenletnek az \(\displaystyle (x;y)\) nemnegatív egész számpárok körében?

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel \(\displaystyle 10^n>0\), így \(\displaystyle x>y\). Alakítsunk szorzattá: \(\displaystyle (x+y)(x-y)=2^n5^n\). Jobb oldalon szerepel a 2-es prímtényező, ezért akárhogy alakítunk ki két szorzótényezőt a jobb oldalon, az egyik biztosan páros lesz. Bal oldalon a két szorzótényező összege páros, így azonos paritásúak, ezért mindkettő csak páros lehet.

Az a kérdés tehát, hogy a \(\displaystyle 2^n 5^n\) szorzatot hányféleképpen tudjuk két (pozitív) páros szám szorzatára bontani: \(\displaystyle pq=2^n 5^n\) és \(\displaystyle p\geq q\). Ekkor \(\displaystyle x+y=p\) és \(\displaystyle x-y=q\). Ebből \(\displaystyle x=\frac{p+q}{2}\), \(\displaystyle y=\frac{p-q}{2}\) adódik, ahol \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) nemnegatív egész számok, hiszen \(\displaystyle p+q\) és \(\displaystyle p-q\) is páros szám és \(\displaystyle p\geq q\). Tehát valóban: adott \(\displaystyle p\), \(\displaystyle q\) párhoz tartozik egy megfelelő \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) számpár, és különböző \(\displaystyle p\), \(\displaystyle q\) számpárnak különböző \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) számpár felel meg.

\(\displaystyle 2^n 5^n\) összes osztóinak száma: \(\displaystyle (n+1)^2\). Ezeket az osztókat párba lehet állítani, kivéve akkor, ha \(\displaystyle n\) páros, mert akkor a szám négyzetgyökének saját maga a párja. Azok az osztópárok, ahol az egyik osztó páratlan, meghatározhatók a páratlan osztó segítségével: \(\displaystyle 1,5^1,5^2,...5^n\), ez \(\displaystyle (n+1)\) osztópárt jelent. Ezt az összes osztópárok számából le kell vonni.

Ha \(\displaystyle n\) páratlan szám, akkor a megfelelő osztópárok száma:

\(\displaystyle \frac{(n+1)^2}{2}-(n+1)=\frac{n^2-1}{2}.\)

Ha \(\displaystyle n\) páros szám, akkor a megfelelő osztópárok száma:

\(\displaystyle \left(\frac{(n+1)^2-1}{2}+1\right)-(n+1)=\frac{n^2}{2}.\)

Tehát a megoldások száma páratlan \(\displaystyle n\) esetén \(\displaystyle \frac{n^2-1}{2}\), páros \(\displaystyle n\) esetén pedig \(\displaystyle \frac{n^2}{2}\).

Statisztika:

74 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bukor Benedek, Csorba Benjámin, Czirják Lilla, Demeter Gergő, Édes Lili, Fajszi Bulcsú, Fekete Balázs Attila, Garamvölgyi István Attila, Horváth András János, Kasó Ferenc, Kocsis Júlia, Kormányos Hanna Rebeka, Marozsák Tóbiás , Mikulás Zsófia, Molnár 410 István, Nagy 911 Viktória, Nagy Enikő, Németh Csilla Márta, Páhoki Tamás, Pinke Andrea, Póta Balázs, Pszota Máté, Sebe Anna, Sudár Ákos, Szécsi Adél Lilla, Szilágyi Éva, Tatai Mihály, Varga 157 Kristóf, Villányi Soma, Weisz Máté, Weisz Viktória, Zsombó István.
4 pontot kapott:	Csapó Márton, Dávid Levente, Gera Dóra, Jánosdeák Márk, Kamenár Gyöngyvér, Kiss Vivien Mercédesz, Kósa Szilárd, Kovács 124 Marcell, Lévay Mátyás, Mályusz Attila, Markó Anna Erzsébet, Márton Anna, Nagy Nándor, Sal Dávid, Thuróczy Mylan.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	13 versenyző.

A KöMaL 2016. májusi matematika feladatai